Resolva pelo Método das Diferenças Finitas, os seguintes problemas de valor de contorno com
.
,
Passo 1
Então, o exercício pede para resolver o problema de contorno
usando o método das diferenças finitas com passo
O que a gente vai usar aqui:
1) Aproximação por diferenças finitas para
2) Montagem de um sistema linear tridiagonal para os valores de
3) Resolução desse sistema (por exemplo, pelo método de Thomas).
Passo 2
Primeiro a gente cria a malha uniforme em
com
.
Os nós são
Os nós são
Como já sabemos
Passo 3
Agora vamos aproximar as derivadas no nó genérico
assim:
$$y’’(x_i)\approx\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2},\qquad
y’(x_i)\approx\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}.
y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}=-2\cdot\frac{h2}{2h}(y_{i+1}-y_{i-1})-y_i,h2+x_i,h^2.$$
Com um pouco de álgebra isso vira a forma tridiagonal padrão
Passo 4
Como
então
,
,
e
.
Aí a equação fica para :
Aí a equação fica para
E como
1)
2)
3)
4)
Passo 5
Agora a gente resolve esse sistema 4×4 tridiagonal (por Thomas, eliminação de Gauss, etc.).
Se você aplicar o método de Thomas, obtém aproximadamente:
Se você aplicar o método de Thomas, obtém aproximadamente:
Resposta
Os valores aproximados de
na malha são