Resolva pelo Método das Diferenças Finitas, os seguintes problemas de valor de contorno com h=0.2.
y^prime prime=-2 y^prime-y+x,
y(0)=0, y(1)=0

Passo 1

Então, o exercício pede para resolver o problema de contorno
y''=-2,y'-y+x, y(0)=0,;y(1)=0
usando o método das diferenças finitas com passo h=0.2.
O que a gente vai usar aqui:
1) Aproximação por diferenças finitas para y' e y''.
2) Montagem de um sistema linear tridiagonal para os valores de y nos nós internos.
3) Resolução desse sistema (por exemplo, pelo método de Thomas).

Passo 2

Primeiro a gente cria a malha uniforme em [0,1] com h=0.2.
Os nós são
x0=0,;x1=0.2,;x2=0.4,;x3=0.6,;x4=0.8,;x5=1
Como já sabemos y(0)=y0=0 e y(1)=y5=0, as incógnitas serão
y1,y2,y3,y4

Passo 3

Agora vamos aproximar as derivadas no nó genérico xi assim:
$$y’’(x_i)\approx\frac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2},\qquad
y’(x_i)\approx\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h}. y''(xi)approxyi-1-2yi+yi+1h^2, y'(xi)approxyi+1-yi-12hçãçy_{i-1}-2y_i+y_{i+1}=-2\cdot\frac{h2}{2h}(y_{i+1}-y_{i-1})-y_i,h2+x_i,h^2.$$
Com um pouco de álgebra isso vira a forma tridiagonal padrão
y''=-2y'-y+x

Passo 4

Como h=0.2 então h^2=0.04, 1-h=0.8, 1+h=1.2 e h^2-2=-1.96.
Aí a equação fica para i=1,2,3,4:
0.8,yi-1-1.96,yi+1.2,yi+1=0.04,xi
E como y0=y5=0, as quatro equações são
1) -1.96,y1+1.2,y2=0.04cdot0.2=0.008,
2) 0.8,y1-1.96,y2+1.2,y3=0.04cdot0.4=0.016,
3) 0.8,y2-1.96,y3+1.2,y4=0.04cdot0.6=0.024,
4) 0.8,y3-1.96,y4=0.04cdot0.8=0.032

Passo 5

Agora a gente resolve esse sistema 4×4 tridiagonal (por Thomas, eliminação de Gauss, etc.).
Se você aplicar o método de Thomas, obtém aproximadamente:
y1approx-0.04515, y2approx-0.06713, y3approx-0.06622, y4approx-0.04333

Resposta

Os valores aproximados de y na malha são
y(0)&=0, y(0.2)&approx-0.04515, y(0.4)&approx-0.06713, y(0.6)&approx-0.06622, y(0.8)&approx-0.04333, y(1)&=0

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