Como funciona o Método de Eliminação Gaussiana para um sistema de equações lineares?
Passo 1
Estamos lidando com um sistema de equações lineares e queremos encontrar suas incógnitas usando o Método de Eliminação Gaussiana. O conteúdo aqui é Álgebra Linear e vamos precisar representar o sistema como uma matriz aumentada e usar operações elementares de linha para escalonar essa matriz.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema no formato de matriz aumentada. Se o sistema é
então montamos a matriz aumentada
Passo 3
Em seguida, aplicamos a fase de eliminação (forward elimination) para transformar a matriz aumentada em forma de matriz triangular superior. Para isso, usamos apenas três tipos de operações elementares de linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Passo 4
Durante o escalonamento, escolhemos um pivô (um elemento não nulo) na coluna atual e zeramos todos os elementos abaixo dele, usando operações do tipo
Li Li - ai,kap,k,Lp
onde Lp é a linha do pivô na coluna k. Repetimos isto para cada coluna até obter zeros abaixo dos pivôs.
Passo 5
No final da eliminação, teremos uma matriz como
onde o lado esquerdo é triangular superior.
Passo 6
Por fim, fazemos a substituição regressiva (back substitution). Começamos da última linha, que tem apenas uma incógnita, resolvemos para ela, e voltamos linha a linha determinando todas as demais incógnitas.
Passo 7
Ao fim desse processo, obtemos o vetor solução (x1, x2, dots, xn).
Resposta
O Método de Eliminação Gaussiana consiste em escrever o sistema como matriz aumentada, usar operações elementares de linha para escalonar essa matriz até a forma triangular superior e então aplicar substituição regressiva para encontrar todas as incógnitas.