Considere a seguinte função. Ao se empregar o método da bisseção, para qual das raízes (zeros) o método conduzirá?
f(x)=(x-1)^3(x-2)(x-3), para [0 ; 3,2]

Passo 1

A questão pede para aplicar o método da bisseção na função f(x) = (x-1)^3(x-2)(x-3) no intervalo [0, 3,2] e descobrir a qual raiz o método irá convergir. O conteúdo é o método da bisseção, que requer um intervalo onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos.

Passo 2

Primeiro, identificamos as raízes de f: x=1 (multiplicidade 3), x=2 e x=3. Em cada raiz de multiplicidade ímpar a função troca de sinal, então as três raízes são de troca de sinal.

Passo 3

Agora calculamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(0) = (0-1)^3,(0-2),(0-3) = (-1)^3 cdot (-2) cdot (-3) = -1 cdot (-2) cdot (-3) = -6 < 0,
f(3,2) = (3,2-1)^3,(3,2-2),(3,2-3) = (2,2)^3 cdot 1,2 cdot 0,2 > 0

Passo 4

Como f(0) < 0 e f(3,2) > 0, o método da bisseção é válido nesse intervalo. Vamos ao primeiro passo do método:
Calculamos o ponto médio m1 = 0 + 3,22 = 1,6 e avaliamos f(1,6):
f(1,6) = (1,6-1)^3,(1,6-2),(1,6-3) = (0,6)^3 cdot (-0,4) cdot (-1,4) = 0,216 cdot 0,56 > 0

Passo 5

Como f(0) < 0 e f(1,6) > 0, o novo intervalo é [0, 1,6].
Nesse intervalo só existe a raiz x=1 (as outras duas estão fora), então o método da bisseção vai convergir para x=1.

Resposta

O método da bisseção converge para a raiz x = 1.

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