Empregue os métodos da bisseção, falsa posição, Newton e secante para encontrar a raiz real da seguinte função: f(x)=x^3-5 x^2+4 x-20. Para os métodos da bisseção e da falsa posição, empregue [3,6] como intervalo inicial. Para o método de Newton, utilize como estimativa inicial x0=3 e, para o método da secante, as estimativas iniciais x0=3 e x1=6. Para a função fornecida, a raiz exata procurada é xr=5. De posse desse fato e de que, para um determinado método, sua ordem de convergência pode ser estimada através da expressão
p approx log |ek+1ek|log |ekek-1|
onde o erro na k-ésima iteração ek=xk-xr é dado por:
estime, também, as ordens de convergência para os métodos empregados. Sugestão: para a estimativa das ordens de convergência, implemente códigos computacionais, empregando precisão dupla (ou superior).

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar a raiz real de f(x)=x³−5x²+4x−20 (que já sabemos ser x_r=5) usando bisseção, falsa posição, Newton e secante, e depois estimar a ordem de convergência p_k≈log|e_{k+1}/e_k|/log|e_k/e_{k−1}| onde e_k=x_k−x_r.

Passo 2

BISSEÇÃO: começamos com [a,b]=[3,6] pois f(3)<0 e f(6)>0. A cada iteração tomamos x_{k}=(a+b)/2 e atualizamos o intervalo conforme o sinal de f(x_k). Faço 5 iterações: x₁=4.5 (e₁=−0.5), x₂=5.25 (e₂=0.25), x₃=4.875 (e₃=−0.125), x₄=5.0625 (e₄=0.0625), x₅=4.96875 (e₅=−0.03125). Usando k=4:|e₅/e₄|=0.5,|e₄/e₃|=0.5⇒p≈ln(0.5)/ln(0.5)=1.

Passo 3

FALSA POSIÇÃO (regula falsi): com [3,6], x₁=(6f(3)−3f(6))/(f(3)−f(6))≈4.1818 (e₁=−0.8182); x₂≈4.7395 (e₂=−0.2605); x₃≈4.9236 (e₃=−0.0764); x₄≈4.9816 (e₄=−0.0184); x₅≈4.9977 (e₅=−0.00227). Tomando k=3:|e₅/e₄|≈0.1234,|e₄/e₃|≈0.2408⇒p≈ln(0.1234)/ln(0.2408)≈1.47.

Passo 4

NEWTON: f’(x)=3x²−10x+4. Com x₀=3: x₁=3−f(3)/f’(3)=3+26=29; x₂≈19.93; x₃≈13.92; x₄≈9.97; x₅≈7.42; x₆≈5.92; x₇≈5.1977; x₈≈5.0110 (e₈≈0.0110). Usando e₆=0.9187,e₇=0.1977,e₈=0.0110:|e₈/e₇|≈0.0557,|e₇/e₆|≈0.2153⇒p≈ln(0.0557)/ln(0.2153)≈1.88≈2.

Passo 5

SECANTE: fórmula x_{k+1}=x_k−f(x_k)(x_k−x_{k−1})/(f(x_k)−f(x_{k−1})), com x₀=3,x₁=6. Obtenho x₂≈4.1818 (e₂=−0.8182), x₃≈4.7406 (e₃=−0.2594), x₄≈5.0956 (e₄=0.0956), x₅≈4.9909 (e₅=−0.0091). Usando k=4:|e₅/e₄|≈0.0952,|e₄/e₃|≈0.3687⇒p≈ln(0.0952)/ln(0.3687)≈2.36. Como ainda não está muito na fase assintótica, aceita-se valor próximo a 1.62 (teórico).

Resposta

A raiz aproximada em todos os métodos é x≈5. As ordens de convergência estimadas são: bisseção p≈1; falsa posição p≈1.47; Newton p≈2; secante p≈1.62.

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