Provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em interpolação de Lagrange, vale
sendo
o polinômio nodal, e
o k-ésimo polinômio cardinal. Vamos usar a fórmula de
em termos de
e
e um lema sobre somas de potências.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos cada
usando
ajustando pois
. Assim
logo
Passo 3
Agora notamos que a soma
é um polinômio de grau
. Expandindo
obtemos
Usamos o lema clássico de frações parciais em
:
Então, em
só sobrevive o termo
, dando
Passo 4
Portanto
como queríamos.
Passo 5
Neste raciocínio usamos (1) a expressão de
via
e
, (2) expansão binomial, (3) o lema sobre somas
.
Resposta
Foi comprovado que