Provar que
sumk=0^n(x-xk)^n+1 ln k(x)=(-1)^n omega(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em interpolação de Lagrange, vale
sumk=0^n(x-xk)^n+1,lnk(x)=(-1)^n,omega(x),
sendo
omega(x)=prodi=0^n(x-xi)
o polinômio nodal, e
lnk(x)=prodineq kx-xixk-xi
o k-ésimo polinômio cardinal. Vamos usar a fórmula de lnk(x) em termos de omega e omega' e um lema sobre somas de potências.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada lnk(x) usando
lnk(x)=omega(x)(x-xk),omega'(xk),
ajustando pois omega'(xk)=prodineq k(xk-xi). Assim
(x-xk)^n+1lnk(x)=(x-xk)^nomega(x)omega'(xk),
logo
sumk=0^n(x-xk)^n+1lnk(x)=omega(x)sumk=0^n(x-xk)^nomega'(xk)

Passo 3

Agora notamos que a soma
Q(x)=sumk=0^n(x-xk)^nomega'(xk)
é um polinômio de grau <= n. Expandindo (x-xk)^n=summ=0^nbinom nm x^m(-xk)^n-m obtemos
Q(x)=summ=0^nbinom nm x^ml(sumk=0^n(-xk)^n-momega'(xk)r)
Usamos o lema clássico de frações parciais em 1/omega(x):
sumk=0^nxk^jomega'(xk)=0,&j
Então, em Q(x) só sobrevive o termo m=0, dando
Q(x)=(-1)^nsumk=0^nxk^nomega'(xk)=(-1)^n

Passo 4

Portanto
sumk=0^n(x-xk)^n+1lnk(x)=omega(x),Q(x)=(-1)^nomega(x),
como queríamos.

Passo 5

Neste raciocínio usamos (1) a expressão de lnk via omega e omega', (2) expansão binomial, (3) o lema sobre somas sum xk^j/omega'(xk).

Resposta

Foi comprovado que
sumk=0^n(x-xk)^n+1lnk(x)=(-1)^n,omega(x)

Exercícios relacionados