Considere a seguinte integral definida
I=integral-pi4^3 pi4[sin (x)+cos (x)] d x
e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados dados por x0, x1 e x2 onde x0=-pi4 e x2=3 pi4. Sendo assim:
© considere que M2=1.41421 e calcule a estimativa para o erro usando a regra do trapézio repetida se fossem utilizados 31 pontos para a integração numérica.

Passo 1

Tranquilo! O enunciado diz que temos a integral
I = integral-pi4^3pi4[sin(x)+cos(x)],dx
e que um conjunto de 31 pontos igualmente espaçados (ou seja, 30 subintervalos) vai ser usado na regra do trapézio repetida. Eles já deram , que é um limite para .
Conteúdo: integração numérica (regra do trapézio composta) e estimativa de erro.
O que a gente vai precisar:
  • Saber a fórmula do erro da regra do trapézio composta.
  • Calcular o tamanho do intervalo e o número de subintervalos .
  • Substituir tudo e chegar num valor aproximado.

Passo 2

A teoria manda que, para l|ETr|;<=;(b-a),h^212,M2 subintervalos e passo , o erro máximo da regra do trapézio composta satisfaz
Explicando:
  • é o comprimento total do intervalo de integração.
  • vem do fato de a convergência do trapézio ser de ordem 2 (erro em ).
  • é o maior valor absoluto da segunda derivada de nesse intervalo.

Passo 3

Vamos aos números:
  • ,
  • Temos 31 pontos ⇒ subintervalos.
  • Logo

Passo 4

Plugando na fórmula
l|ETr|;<=;(b-a),h^212,M2 =pi;l(pi30r)^212;M2 =pi^312cdot30^2;M2
Agora substitui l|ETr|;<=;pi^312cdot900times1.41421 =pi^310800times1.41421 :
l|ETr|;<=sssim;31.006310800times1.41421 approx0.00406
Numericamente, , então

Resposta

A estimativa de erro usando a regra do trapézio composta com 31 pontos é aproximadamente
boxed4.06times10^-3

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