Considere a seguinte integral \int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x.
Aproxime a integral acima por quadratura de Gauss-Legendre com dois e três pontos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral \r
\int_{0}^{1}e^{x^{2}}\,dx \r
usando quadratura de Gauss–Legendre com dois e três pontos. Para isso, vamos precisar da fórmula de mudança de variável que leva o intervalo de integração de [-1,1] para [0,1] e dos nós ( t_{i}) e pesos ( w_{i}) padrões para n=2 e n=3.

Passo 2

Usamos a transformação \r
\;x = \frac{b-a}{2}\,t + \frac{b+a}{2},\quad a=0,\;b=1, \r
que dá \r
\int_{0}^{1}e^{x^{2}}\,dx = \frac{1-0}{2}\sum_{i=1}^{n} w_{i}\,e^{\bigl(\frac{t_{i}+1}{2}\bigr)^{2}} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}w_{i}\,f\!\Bigl(\tfrac{t_{i}+1}{2}\Bigr)\r
onde t_{i} e w_{i} são nós e pesos em [-1,1].

Passo 3

Quadratura de Gauss–Legendre com n=2: \r
t_{1,2} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}},\quad w_{1}=w_{2}=1.\r
Os pontos em [0,1] são \r
x_{1} = \frac{1 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}}{2},\quad x_{2} = \frac{1 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}}{2}.\r
Calculamos \r
f(x_{1}) = e^{x_{1}^{2}}\approx e^{0{,}04468}\approx 1{,}04569,\quad f(x_{2}) = e^{x_{2}^{2}}\approx e^{0{,}62201}\approx 1{,}86263.\r
Logo a aproximação é \r
\int_{0}^{1}e^{x^{2}}\,dx \approx \frac{1}{2}\bigl(f(x_{1}) + f(x_{2})\bigr) = \frac{1{,}04569 + 1{,}86263}{2} \approx 1{,}45416.

Passo 4

Quadratura de Gauss–Legendre com n=3: \r
t_{1,3} = \pm\sqrt{\tfrac{3}{5}},\;t_{2}=0,\quad w_{1}=w_{3}=\tfrac{5}{9},\;w_{2}=\tfrac{8}{9}.\r
Os pontos em [0,1] são \r
x_{1} = \frac{1 - \sqrt{\tfrac{3}{5}}}{2},\quad x_{2} = \tfrac{1}{2},\quad x_{3} = \frac{1 + \sqrt{\tfrac{3}{5}}}{2}.\r
Calculamos \r
f(x_{1}) = e^{x_{1}^{2}}\approx 1{,}01278,\quad f(x_{2}) = e^{0{,}25}\approx 1{,}28403,\quad f(x_{3}) = e^{x_{3}^{2}}\approx 2{,}19783.\r
Então \r
\int_{0}^{1}e^{x^{2}}\,dx \approx \frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{5}{9}f(x_{1}) + \tfrac{8}{9}f(x_{2}) + \tfrac{5}{9}f(x_{3})\Bigr) \approx \frac{1}{2}\bigl(2{,}92525\bigr) \approx 1{,}46263.

Resposta

Aproximação com dois pontos: 1{,}45416 \r
Aproximação com três pontos: 1{,}46263

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