Questão 2: Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função f(x)=\ln (x) ho intervalo [5,7] por uma função da forma \varphi(x)=\alpha_{1}+\alpha_{2} x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função f(x)=\ln(x) no intervalo [5,7] por uma reta
\varphi(x)=\alpha_{1}+\alpha_{2}\,x
pelo método dos mínimos quadrados contínuo.
Isso significa escolher \alpha_{1} e \alpha_{2} para minimizar o funcional
J(\alpha_{1},\alpha_{2})=\int_{5}^{7}\bigl[\ln(x)-(\alpha_{1}+\alpha_{2}x)\bigr]^{2}dx.

Passo 2

Para minimizar J fazemos as derivadas parciais nulas, o que gera as equações normais:
\frac{\partial J}{\partial \alpha_{1}}= -2\int_{5}^{7}\bigl[\ln(x)-\alpha_{1}-\alpha_{2}x\bigr]\,dx=0,
\frac{\partial J}{\partial \alpha_{2}}= -2\int_{5}^{7}x\,\bigl[\ln(x)-\alpha_{1}-\alpha_{2}x\bigr]\,dx=0.
Isto equivale ao sistema linear
\int_{5}^{7}1\cdot(\ln x)\,dx \;=\;\alpha_{1}\int_{5}^{7}1\,dx \;+\;\alpha_{2}\int_{5}^{7}x\,dx,
\int_{5}^{7}x\,\ln x\,dx \;=\;\alpha_{1}\int_{5}^{7}x\,dx \;+\;\alpha_{2}\int_{5}^{7}x^{2}\,dx.

Passo 3

Calculamos as integrais básicas no intervalo [5,7]:
\int_{5}^{7}1\,dx = 7-5 = 2,
\int_{5}^{7}x\,dx = \frac{7^{2}-5^{2}}{2} = 12,
\int_{5}^{7}x^{2}\,dx = \frac{7^{3}-5^{3}}{3} = \frac{218}{3},
\int_{5}^{7}\ln(x)\,dx = \Bigl[x\ln(x)-x\Bigr]_{5}^{7} = 7\ln7 -7 \;-\;(5\ln5 -5) = 7\ln7 -5\ln5 -2,
\int_{5}^{7}x\ln(x)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\ln(x) - \tfrac{x^{2}}{4}\Bigr]_{5}^{7} = \Bigl(24{,}5\ln7 -12{,}25\Bigr) -\Bigl(12{,}5\ln5 -6{,}25\Bigr) =24{,}5\ln7 -12{,}5\ln5 -6.

Passo 4

Substituindo no sistema vêm
2\,\alpha_{1}+12\,\alpha_{2}=7\ln7 -5\ln5 -2,
12\,\alpha_{1}+\frac{218}{3}\,\alpha_{2}=24{,}5\ln7 -12{,}5\ln5 -6.

Passo 5

Eliminando \alpha_{1}: multiplico a primeira equação por 6 e subtraio da segunda, obtém-se
\frac{2}{3}\,\alpha_{2} =\bigl[-17{,}5\ln7 +17{,}5\ln5 +6\bigr] \;\Longrightarrow\; \alpha_{2} =\frac{3}{2}\Bigl[17{,}5(\ln5-\ln7)+6\Bigr] = \frac{105}{4}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{7}\bigr)+9.

Passo 6

Substituindo \alpha_{2} na primeira equação e isolando \alpha_{1}
\alpha_{1} =\frac{1}{2}\Bigl[\,7\ln7 -5\ln5 -2 \;-\;12\,\alpha_{2}\Bigr] =161\ln7 \;-\;160\ln5 \;-\;55.

Resposta

\boxed{ \alpha_{1} =161\ln7 \;-\;160\ln5 \;-\;55, \quad \alpha_{2} =\frac{105}{4}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{7}\bigr)+9. }
Numericamente,
\alpha_{1}\approx0{,}84 e \alpha_{2}\approx0{,}16.

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