Questão 3: A aluna Maria se deparou com a necessidade de calcular valores aproximados para integrais definida da forma
mas ela sabia que
não possui primitiva dada por funções elementares. Tendo isso em mente, ela decidiu adotar a seguinte estratégia:
(i). Ajustar uma função da forma
à curva
no intervalo
.
(ii). Obter o valor aproximado buscado fazendo
onde
é a primitiva de
.
Proceda conforme a estratégia de Maria, obtenha a função
que melhor se ajuste a
no intervalo [-0.5, 0.5]. Em seguida obtenha uma fórmula, em termos de
e
, para o valor aproximado da integral desejada segundo o item (ii) proposto acima.
Dica: Use os seguintes fatos:
(i). Ajustar uma função da forma
(ii). Obter o valor aproximado buscado fazendo
Passo 1
O enunciado pede aproximar
no intervalo usando um polinômio
ajustado por mínimos quadrados. Vamos impor as condições de ortogonalidade
para
,
e usar os valores dados
no intervalo
ajustado por mínimos quadrados. Vamos impor as condições de ortogonalidade
e usar os valores dados
Passo 2
Escrevemos as três equações normais:
Expandindo cada uma:
Passo 3
Calculamos as integrais de potências no mesmo intervalo:
Substituindo e usando os dados, obtemos o sistema
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Passo 4
Da equação (2) vem
. As outras duas reduzem-se a
Passo 5
Resolvendo em
e
(por substituição ou matriz), achamos
Passo 6
Assim a função ajustada é
Uma primitiva é
Passo 7
Logo a aproximação para
segundo Maria é