Questão 3: A aluna Maria se deparou com a necessidade de calcular valores aproximados para integrais definida da forma
\int_{a}^{b} e^{-x^{2}} d x, \quad-0.5 \leq a \leq b \leq 0.5
mas ela sabia que f(x)=e^{-x^{2}} não possui primitiva dada por funções elementares. Tendo isso em mente, ela decidiu adotar a seguinte estratégia:
(i). Ajustar uma função da forma \varphi(x)=\alpha_{1} x^{2}+\alpha_{2} x+\alpha_{3} à curva e^{-x^{2}} no intervalo [-0.5,0.5].
(ii). Obter o valor aproximado buscado fazendo
\int_{a}^{b} e^{-x^{2}} d x \approx \int_{a}^{b} \varphi(x) d x=\Phi(b)-\Phi(a)
onde \Phi(x) é a primitiva de \varphi(x).
Proceda conforme a estratégia de Maria, obtenha a função \varphi(x)=\alpha_{1} x^{2}+\alpha_{2} x+\alpha_{3} que melhor se ajuste a f(x) no intervalo [-0.5, 0.5]. Em seguida obtenha uma fórmula, em termos de a e b, para o valor aproximado da integral desejada segundo o item (ii) proposto acima.
Dica: Use os seguintes fatos:
\int_{-0.5}^{0.5} e^{-x^{2}} d x=0.9226 \quad \int_{-0.5}^{0.5} x e^{-x^{2}} d x=0 \quad \int_{-0.5}^{0.5} x^{2} e^{-x^{2}} d x=0.0719

Passo 1

O enunciado pede aproximar
\displaystyle\int_{a}^{b}e^{-x^{2}}\,dx
no intervalo [-0.5,0.5] usando um polinômio
\varphi(x)=\alpha_{1}x^{2}+\alpha_{2}x+\alpha_{3}
ajustado por mínimos quadrados. Vamos impor as condições de ortogonalidade
\displaystyle\int_{-0.5}^{0.5}(f(x)-\varphi(x))\,x^{k}dx=0 para k=0,1,2,
e usar os valores dados
\int_{-0.5}^{0.5}e^{-x^{2}}dx=0.9226,\quad \int_{-0.5}^{0.5}x\,e^{-x^{2}}dx=0,\quad \int_{-0.5}^{0.5}x^{2}e^{-x^{2}}dx=0.0719.

Passo 2

Escrevemos as três equações normais:
\int_{-0.5}^{0.5}(f(x)-\varphi(x))\,dx=0,\quad \int_{-0.5}^{0.5}x\,(f(x)-\varphi(x))\,dx=0,\quad \int_{-0.5}^{0.5}x^{2}(f(x)-\varphi(x))\,dx=0.
Expandindo cada uma:
\int f=\alpha_{1}\!\int x^{2}+\alpha_{2}\!\int x+\alpha_{3}\!\int1,
\int x\,f=\alpha_{1}\!\int x^{3}+\alpha_{2}\!\int x^{2}+\alpha_{3}\!\int x,
\int x^{2}f=\alpha_{1}\!\int x^{4}+\alpha_{2}\!\int x^{3}+\alpha_{3}\!\int x^{2}.

Passo 3

Calculamos as integrais de potências no mesmo intervalo:
\int_{-0.5}^{0.5}1\,dx=1,\quad \int_{-0.5}^{0.5}x\,dx=0,\quad \int_{-0.5}^{0.5}x^{2}\,dx=\tfrac{1}{12}\approx0.08333,
\int_{-0.5}^{0.5}x^{3}\,dx=0,\quad \int_{-0.5}^{0.5}x^{4}\,dx=\tfrac{1}{80}=0.0125.
Substituindo e usando os dados, obtemos o sistema
(1) \,0.9226=0.08333\,\alpha_{1}+1\cdot\alpha_{3},
(2) \,0=0.08333\,\alpha_{2},
(3) \,0.0719=0.0125\,\alpha_{1}+0.08333\,\alpha_{3}.

Passo 4

Da equação (2) vem \alpha_{2}=0. As outras duas reduzem-se a
0.08333\,\alpha_{1}+\alpha_{3}=0.9226, \quad 0.0125\,\alpha_{1}+0.08333\,\alpha_{3}=0.0719.

Passo 5

Resolvendo em \alpha_{1} e \alpha_{3} (por substituição ou matriz), achamos
\alpha_{1}\approx-0.897,\quad \alpha_{3}\approx0.99735,\quad \alpha_{2}=0.

Passo 6

Assim a função ajustada é
\varphi(x)=-0.897\,x^{2}+0.99735.
Uma primitiva é
\Phi(x)=\int\varphi(x)\,dx =-0.897\,\frac{x^{3}}{3}+0.99735\,x.

Passo 7

Logo a aproximação para
\displaystyle\int_{a}^{b}e^{-x^{2}}dx segundo Maria é
\int_{a}^{b}e^{-x^{2}}dx \approx\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx =-0.897\,\frac{b^{3}-a^{3}}{3} +0.99735\,(b-a).

Resposta

\displaystyle\varphi(x)=-0.897\,x^{2}+0.99735
\int_{a}^{b}e^{-x^{2}}dx \approx-0.897\,\frac{b^{3}-a^{3}}{3} +0.99735\,(b-a).

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