Considere a seguinte matriz aumentada de um sistema linear (A X=b) dada por
A=\left[\begin{array}{cccc} a & 0 & b & 2 \\\ a & a & 4 & 4 \\\\ 0 & a & 2 & b \end{array}\right]
a) Encontre condições sobre a e b de modo que o sistema tenha única solução.
[Resposta: a \neq 0 e b \neq 0.]
b) Mostre que se a \neq 0 e b=2 então o sistema admite solução a um parâmetro.
c) Mostre que se a=0 e b=2 então o sistema admite solução a dois parâmetros.
d) Encontre condições sobre a e b para que o sistema não tenha nenhuma solução. [Resposta: a=0 e b \neq 2.]

Passo 1

Estamos com o sistema linear de três incógnitas cuja matriz aumentada é
\bigl[\,A\mid b\,\bigr]= \begin{pmatrix} a & 0 & b & 2\\\ a & a & 4 & 4\\\\ 0 & a & 2 & b \end{pmatrix}.
Para estudar existência e unicidade de soluções vamos usar o fato de que o sistema tem solução única se, e só se, o determinante da matriz de coeficientes não for zero; tem infinitas soluções quando esse determinante anula mas o sistema é compatível; e não tem solução quando o determinante anula e o sistema fica incompatível. A teoria principal aqui é o Teorema de Rouché–Capelli e cálculo de determinantes.

Passo 2

Extraímos a matriz de coeficientes
M = \begin{pmatrix} a & 0 & b\\\ a & a & 4\\\\ 0 & a & 2 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det(M) = a\,(a\cdot 2 - 4\cdot a)\;-\;0\;+\;b\,(a\cdot a - a\cdot 0) = a\,(2a - 4a) + b\,a^2 = -2a^2 + a^2\,b = a^2\,(b - 2).
Logo, para termos única solução precisamos
\det(M)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2\,(b-2)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq 0 \quad\text{e}\quad b\neq 2.

Passo 3

Agora analizamos o caso a\neq 0 e b=2. Aqui \det(M)=0, mas ainda podemos ter sistema compatível.
– Primeiro, vemos que o posto de M é 2 porque, por exemplo, o menor de ordem 2 formado pelas duas primeiras linhas e colunas tem determinante
\begin{vmatrix} a & 0\\\ a & a \end{vmatrix} = a\cdot a - 0\cdot a = a^2\neq 0.
– Em seguida, o posto da matriz aumentada também é 2 (não há contradição nas três equações quando b=2).
Como o número de incógnitas é 3, pelo Teorema de Rouché–Capelli a solução existe e depende de 3 - 2 = 1 parâmetro.

Passo 4

No caso a=0 e b=2, a matriz de coeficientes fica
M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 4\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
cujo posto é 1 (basta ver que todas as colunas, exceto a terceira, são nulas, e a terceira coluna é não nula). Aumentada, temos
\bigl[\,A\mid b\,\bigr]= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 4 & 4\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix},
que também tem posto 1 (as equações são todas múltiplas umas das outras). Pelo número de incógnitas 3, o espaço de soluções tem dimensão 3 - 1 = 2; ou seja, duas variáveis livres, solução com dois parâmetros.

Passo 5

Finalmente, para não haver solução precisamos \det(M)=0 (posto do coeficiente estritamente menor que 3) e incompatibilidade (posto da aumentada maior que o posto de M).
\det(M)=0 quando a=0 ou b=2.
– Já a incompatibilidade ocorre precisamente quando a=0 e b\neq 2: nesse caso as equações não coincidem de modo a permitir uma escolha de incógnitas que satisfaça todas.
Assim, não há solução se, e só se,
a=0 \quad\text{e}\quad b\neq 2.

Resposta

a) a \neq 0 e b \neq 2.\nb) Se a \neq 0 e b = 2, o sistema tem solução com um parâmetro.\nc) Se a = 0 e b = 2, o sistema tem solução com dois parâmetros.\nd) O sistema não tem solução se, e só se, a = 0 e b \neq 2.

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