Use redução por linhas para mostrar que o determinante da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array}\right)
é \operatorname{det} A=(b-a)(c-a)(c-b). Matrizes com formato semelhante a matriz acima são chamadas matrizes de Vandermonde. Para mais propriedades dessas matrizes, veja: https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_Vandermonde

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\ a & b & c\\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}
usando redução por linhas. Vamos usar a propriedade de operação de linha do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” que não altera o determinante.

Passo 2

Aplicamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 - a\,R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - a\,R_1
sem alterar \det A. Isso elimina o primeiro elemento de cada uma das linhas 2 e 3, dando a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & b - a & c - a\\\\ 0 & b^2 - a^2 & c^2 - a^2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Observamos que
b^2 - a^2 = (b-a)(b+a), \quad c^2 - a^2 = (c-a)(c+a).
Logo a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & b - a & c - a\\\\ 0 & (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \end{pmatrix}.

Passo 4

Para zerar o elemento \,(b-a)(b+a) na posição (3,2), fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - (b + a)\,R_2,
novamente sem alterar o determinante. O resultado é a matriz triangular superior
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & b - a & c - a\\\\ 0 & 0 & (c - a)(c - b) \end{pmatrix}.

Passo 5

Em uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim,
\det A = 1 \cdot (b-a) \cdot \bigl((c-a)(c-b)\bigr) = (b-a)(c-a)(c-b).

Resposta

\det A = (b-a)(c-a)(c-b).

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