(Exercício computacional). Resolver o sistema linear A X=\vec{b}, onde:
A=\left(\begin{array}{cccc} 10 & 2 & 4 & 0 \\\\ 5 & 9 & 6 & 2 \\\\ -5 & 3 & 6 & 3 \\\\ 0 & -4 & 1 & 4 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} 16 \\\\ 22 \\\\ 7 \\\\ 11 \end{array}\right)
usando o comando RowReduce do Mathematica.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear A X = \vec b, com
A = \begin{pmatrix} 10 & 2 & 4 & 0\\\\ 5 & 9 & 6 & 2\\\\ -5 & 3 & 6 & 3\\\\ 0 & -4 & 1 & 4 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \vec b = \begin{pmatrix}16\\\ 22\\\ 7\\\ 11\end{pmatrix}.
O conteúdo é a resolução de sistema linear por eliminação de Gauss (RowReduce faz isso automaticamente). Vamos montar a matriz aumentada e eliminar sucessivamente as incógnitas.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e usamos o pivô da primeira linha para zerar as entradas de x_1 em baixo:
\left[\begin{array}{cccc|c} 10 & 2 & 4 & 0 & 16\\\\ 5 & 9 & 6 & 2 & 22\\\\ -5 & 3 & 6 & 3 & 7\\\\ 0 & -4 & 1 & 4 & 11 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\substack{R_2\to R_2-\tfrac12R_1\R_3\to R_3+\tfrac12R_1}} \left[\begin{array}{cccc|c} 10 & 2 & 4 & 0 & 16\\\\ 0 & 8 & 4 & 2 & 14\\\\ 0 & 4 & 8 & 3 & 15\\\\ 0 & -4 & 1 & 4 & 11 \end{array}\right].

Passo 3

Agora usamos o pivô da segunda linha ( 8) para zerar as entradas de x_2 em baixo:
\left[\begin{array}{cccc|c} 10 & 2 & 4 & 0 & 16\\\\ 0 & 8 & 4 & 2 & 14\\\\ 0 & 4 & 8 & 3 & 15\\\\ 0 & -4 & 1 & 4 & 11 \end{array}\right] \;\xrightarrow{\substack{R_3\to R_3-\tfrac12R_2\R_4\to R_4+\tfrac12R_2}} \left[\begin{array}{cccc|c} 10 & 2 & 4 & 0 & 16\\\\ 0 & 8 & 4 & 2 & 14\\\\ 0 & 0 & 6 & 2 & 8\\\\ 0 & 0 & 3 & 5 & 18 \end{array}\right].

Passo 4

Usamos o pivô da terceira linha ( 6) para zerar a entrada de x_3 na quarta linha:
\left[\begin{array}{cccc|c} 10 & 2 & 4 & 0 & 16\\\\ 0 & 8 & 4 & 2 & 14\\\\ 0 & 0 & 6 & 2 & 8\\\\ 0 & 0 & 3 & 5 & 18 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_4\to R_4-\tfrac12R_3} \left[\begin{array}{cccc|c} 10 & 2 & 4 & 0 & 16\\\\ 0 & 8 & 4 & 2 & 14\\\\ 0 & 0 & 6 & 2 & 8\\\\ 0 & 0 & 0 & 4 & 14 \end{array}\right].

Passo 5

Fazemos agora a substituição retroativa:
4\,x_4 = 14\implies x_4 = \tfrac{14}{4} = \tfrac72,
6\,x_3 + 2\,x_4 = 8\implies 6\,x_3 + 2\cdot\tfrac72 = 8\implies 6\,x_3 = 1\implies x_3 = \tfrac16,
8\,x_2 + 4\,x_3 + 2\,x_4 = 14\implies 8\,x_2 + 4\cdot\tfrac16 + 2\cdot\tfrac72 = 14\implies 8\,x_2 = \tfrac{19}{3}\implies x_2 = \tfrac{19}{24},
10\,x_1 + 2\,x_2 + 4\,x_3 = 16\implies 10\,x_1 + 2\cdot\tfrac{19}{24} + 4\cdot\tfrac16 = 16\implies 10\,x_1 = \tfrac{55}{4}\implies x_1 = \tfrac{11}{8}.

Resposta

X = \begin{pmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{11}{8}\\[4pt] \tfrac{19}{24}\\[4pt] \tfrac{1}{6}\\[4pt] \tfrac{7}{2} \end{pmatrix}.]

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