Encontre a solução do sistema abaixo utilizando operações elementares.
\begin{aligned} x-y+2 z-w & =-8, \\\\ 2 x-2 y+3 z-3 w & =-20, \\\ x+y+z+0 w & =-2, \\\ x-y+4 z+3 w & =4 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações em quatro variáveis (x,y,z,w) e pede a solução usando operações elementares (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e reduzi-la a forma escalonada linha para depois obter x, y, z e w.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos abaixo do pivô de x (primeira coluna) usando R_2\gets R_2-2R_1, R_3\gets R_3-R_1, R_4\gets R_4-R_1:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & -8\\\\ 2 & -2 & 3 & -3 & -20\\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & -2\\\\ 1 & -1 & 4 & 3 & 4 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & -8\\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -4\\\\ 0 & 2 & -1 & 1 & 6\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 & 12 \end{array}\right]

Passo 3

Para ter pivô em y (segunda coluna), trocamos R_2 e R_3, dividimos R_2 por 2 e eliminamos o y de R_1 fazendo R_1\gets R_1+R_2:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 & -8\\\\ 0 & 2 & -1 & 1 & 6\\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -4\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 & 12 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \tfrac32 & -\tfrac12 & -5\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & 3\\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -4\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 & 12 \end{array}\right]

Passo 4

Tornamos pivô de z igual a 1 com R_3\gets -R_3 e eliminamos o z em R_1,R_2,R_4:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \tfrac32 & -\tfrac12 & -5\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & 3\\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -4\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 & 12 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 & -11\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right]

Passo 5

Por fim, dividimos R_4 por 2 para pivô em w e eliminamos o w em R_1,R_2,R_3:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 & -11\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -7\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]

Resposta

A solução do sistema é
x=-7,\quad y=3,\quad z=2,\quad w=2.

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