Encontre uma decomposição L U para a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 6 \\\\ -6 & 0 & -16 \\\\ 0 & 8 & -17 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede uma decomposição A = L U, onde L é triangular inferior com uns na diagonal principal e U é triangular superior. Vamos usar o método de Doolittle: aplicar eliminação de Gauss em A, guardando os multiplicadores em L.

Passo 2

Eliminação da coluna 1 embaixo de a_{11}=3:
O multiplicador para zerar a_{21}=-6 é
m_{21} = \frac{-6}{3} = -2,
e o multiplicador para zerar a_{31}=0 é
m_{31} = \frac{0}{3} = 0.
Subtraindo m_{21} vezes a linha 1 da linha 2 e m_{31} vezes a linha 1 da linha 3, obtemos a matriz intermediária
\begin{pmatrix} 3 & 1 & 6\\\\ 0 & 2 & -4\\\\ 0 & 8 & -17 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminação da coluna 2 abaixo de u_{22}=2:
O multiplicador para zerar o elemento na linha 3, coluna 2 é
m_{32} = \frac{8}{2} = 4.
Subtraindo m_{32} vezes a nova linha 2 da linha 3, a parte triangular superior vira
U = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 6\\\\ 0 & 2 & -4\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Construímos L reunindo todos os multiplicadores e colocando 1 na diagonal principal:
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ m_{21} & 1 & 0\\\ m_{31} & m_{32} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 6\\\\ 0 & 2 & -4\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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