Considere o seguinte PVI
y^prime=y+raizt^3 & Tamanho do passo: h=0.1 y(0)=1 & Número de casas decimais: 4 ú
e responda aos itens a seguir:
(a) Considerando o Método da Série de Taylor, qual é a maior ordem q desse método que posso utilizar para aplicar na resolução desse PVI ? Justifique sua resposta.
(b) Obtida a ordem q no item anterior, aplique o Método da Série de Taylor com ordem q para obter uma aproximação para y(0.2).

Passo 1

Beleza, então o exercício é um PVI (Problema de Valor Inicial) onde
y'=y+raizt^3, & h=0.1, y(0)=1,
e a gente quer:
(a) descobrir a maior ordem que podemos usar no Método da Série de Taylor e justificar;
(b) usar esse pra aproximar .
O assunto é “Método de Taylor para EDOs”, e pra resolver precisamos lembrar como se constrói o polinômio de Taylor da solução e até que ordem a função dada é derivável em .

Passo 2

Primeiro, rapidinho o que é o Método da Série de Taylor:
A ideia é expandir y(t+h)approx y(t)+h,y'(t)+h^22!,y''(t)+cdots+h^qq!,y^(q)(t) em torno de até a ordem :
Para aplicar isso num PVI , a gente vai reescrever todas as derivadas em termos de e usando a própria EDO e suas derivadas parciais.

Passo 3

Agora, qual o maior ddtt^3/2=tfrac32,t^1/2, d^2dt^2t^3/2=tfrac34,t^-1/2, dots possível?
  • A EDO é q=2 com .
  • Pra usar ordem , precisamos que exista em para todo .
  • Note que tem derivadas sucessivas A segunda derivada já dá , que explode em .
  • Isso significa que ainda dá certo (porque envolve apenas), mas não existe.
    Logo, a maior ordem pratica-mente acessível é

Passo 4

Com yn+1=yn ;+;h,y'(tn,yn);+;h^22,y''(tn,yn), , o método fica
y'=f(t,y)=y+t^3/2, y''=ddt(y+t^3/2)=y'+tfrac32,t^1/2 =(y+t^3/2)+tfrac32,t^1/2
com
Só falta aplicar duas iterações de começando em .

Passo 5

Iteração 1 ( ):
  • .
Iteração 2 ( ):
  • .

Resposta

(a) A maior ordem é y(0.2)approx 1.2268 .
(b) Aproximação usando ordem 2 em :

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