Considere o seguinte PVI
e responda aos itens a seguir:
(a) Considerando o Método da Série de Taylor, qual é a maior ordem
desse método que posso utilizar para aplicar na resolução desse PVI ? Justifique sua resposta.
(b) Obtida a ordem
no item anterior, aplique o Método da Série de Taylor com ordem
para obter uma aproximação para
.
(a) Considerando o Método da Série de Taylor, qual é a maior ordem
(b) Obtida a ordem
Passo 1
Beleza, então o exercício é um PVI (Problema de Valor Inicial) onde
e a gente quer:
(a) descobrir a maior ordem que podemos usar no Método da Série de Taylor e justificar;
(b) usar esse pra aproximar
.
(a) descobrir a maior ordem
(b) usar esse
O assunto é “Método de Taylor para EDOs”, e pra resolver precisamos lembrar como se constrói o polinômio de Taylor da solução e até que ordem a função dada é derivável em
.
Passo 2
Primeiro, rapidinho o que é o Método da Série de Taylor:
A ideia é expandir em torno de
até a ordem
:
A ideia é expandir
Para aplicar isso num PVI
, a gente vai reescrever todas as derivadas
em termos de
e
usando a própria EDO e suas derivadas parciais.
Passo 3
Agora, qual o maior
possível?
- A EDO é
com . - Pra usar ordem
, precisamos que exista em para todo . - Note que
tem derivadas sucessivas A segunda derivada já dá , que explode em . - Isso significa que
ainda dá certo (porque envolve apenas), mas não existe.
Logo, a maior ordem pratica-mente acessível é
Passo 4
Com
, o método fica
com
Só falta aplicar duas iterações de
começando em
.
Passo 5
Iteração 1 (
):
-
-
-
.
Iteração 2 (
):
-
-
-
-
-
.
Resposta
(a) A maior ordem é
.
(b) Aproximação usando ordem 2 em :
(b) Aproximação usando ordem 2 em