Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[ccc 10.1 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[c -10.1 -3 0 ]
Quando possível, resolvê-lo usando o Método de Decomposição L. U.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema Ax=b pelo Método de Decomposição LU, onde
A=10.1 & 1 & -11 & 2 & 1-1 & 1 & 1, b=-10.1-30O conteúdo é fatoração A=LU (Doolittle), com L triangular unitária e U triangular superior, seguido de duas substituições (forward e back).

Passo 2

Fatoramos A=LU:
– Primeiro pivô: U11=10.1.
– Eliminadores: L21=110.1approx0.09901, L31=-110.1approx-0.09901.
– Atualizamos submatriz 2×2:
U22=2- L21cdot1=2-0.09901=1.90099, U23=1- L21cdot(-1)=1+0.09901=1.09901,
U32=1- L31cdot1=1+0.09901=1.09901, U33=1- L31cdot(-1)=1-0.09901=0.90099
– Eliminador adicional: L32=dfracU32U22=dfrac1.099011.90099approx0.57822
Assim,
L=1 & 0 & 00.09901 & 1 & 0-0.09901 & 0.57822 & 1, U=10.1 & 1 & -10 & 1.90099 & 1.099010 & 0 & 0.26554

Passo 3

Agora resolvemos Ly=b por forward substitution:
y1=-10.1,
y2=-3-0.09901,y1=-3-0.09901(-10.1)=-2,
y3=0-(-0.09901)(-10.1)-0.57822(-2)=0-1+1.15644=0.15644

Passo 4

Em seguida, Ux=y por back substitution:
x3=y3U33=0.156440.26554approx0.589,
x2=y2-U23x3U22=-2-1.09901cdot0.5891.90099approx-1.393,
x1=y1-U12x2-U13x3U11=-10.1-1(-1.393)-(-1)0.58910.1approx-0.804

Resposta

x1approx -0.804, x2approx -1.393, x3approx 0.589

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