Considere o sistema de equações lineares
[ccc6 & -1 & 1 1 & 4 & 1 2 & -1 & 9][lx1 x2 x3]=[c10 10 2]
Verifique a condição de convergência do Método Iterativo Gauss-Seidel para o sistema (2). Em caso afirmativo resolvê-lo com epsilon=10^-2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
6 & -1 & 11 & 4 & 12 & -1 & 9 x1x2x3= 10102
usando o método de Gauss–Seidel com tolerância epsilon=10^-2, e antes disso verificar se a matriz do sistema satisfaz a condição de convergência (a matriz deve ser estritamente diagonal dominante por linhas).

Passo 2

Vamos checar a dominância diagonal linha a linha. Na linha 1 temos |6| > |-1| + |1| = 2, na linha 2 |4| > |1| + |1| = 2 e na linha 3 |9| > |2| + |1| = 3. Portanto a matriz é estritamente diagonal dominante e o método convergirá.

Passo 3

Agora escrevemos as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel isolando cada incógnita em função das outras já atualizadas:
x1^(k+1) = 16l(10 + x2^(k) - x3^(k)r),
x2^(k+1) = 14l(10 - x1^(k+1) - x3^(k)r),
x3^(k+1) = 19l(2 - 2x1^(k+1) + x2^(k+1)r)

Passo 4

Vamos iniciar com aproximação nula x^(0)=(0,0,0) e calcular iterações até que
|x^(k+1)-x^(k)|infty<10^-2.
Primeira iteração:
x^(1)=(1.6667,;2.0833,;0.08333)
Segunda iteração:
x^(2)=(2.0000,;1.97917,;-0.00231),
terceira iteração:
x^(3)=(1.99691,;2.00135,;0.00084),
quarta iteração:
x^(4)=(2.00009,;1.99977,;-0.00004)
Na iteração 4 temos
|x^(4)-x^(3)|inftyapprox0.00317<10^-2,
então paramos.

Passo 5

Concluímos que em 4 iterações o método atingiu a tolerância desejada e a solução aproximada é

Resposta

x1approx2.0001, x2approx1.9998, x3approx-0.00004

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