Considere o sistema de equações lineares
[ccc6 & -1 & 1 1 & 4 & 1 2 & -1 & 9][lx1 x2 x3]=[c10 10 2]
Verifique a condição de convergência do Método Iterativo Gauss- Jacobi para o sistema (2). Em caso afirmativo resolvê-lo com epsilon=10^-2.

Passo 1

Temos o sistema
$$
6 & -1 & 11 & 4 & 12 & -1 & 9 x1x2x3 = 10102
epsilon=10^-2

.
$$
O conteúdo é o Método Iterativo de Gauss–Jacobi. Primeiro vamos verificar a convergência e, em seguida, iterar até o erro ficar abaixo de .

Passo 2

Verificamos a convergência pelo critério de dominância diagonal estrita. Para cada linha de A:
|6| > |-1| + |1| = 2,
|4| > |1| + |1| = 2,
|9| > |2| + |-1| = 3
Como todas as desigualdades são verdadeiras, o método de Gauss–Jacobi converge.

Passo 3

Na iteração de Jacobi, cada variável é atualizada por
x1^(k+1) = 10 + x2^(k) - x3^(k)6,
x2^(k+1) = 10 - x1^(k) - x3^(k)4,
x3^(k+1) = 2 - 2x1^(k) + x2^(k)9

Passo 4

Escolhemos o chute inicial (x1^(0),x2^(0),x3^(0))=(0,0,0) e calculamos sucessivas iterações:
Iteração 1: (1.6667,,2.5000,,0.2222)
Iteração 2: (2.0463,,2.0278,,0.1296)
Iteração 3: (1.9830,,1.9560,,-0.0072)
Iteração 4: (1.9939,,2.0061,,-0.0011)
Iteração 5: (2.0012,,2.0018,,0.0020)

Passo 5

Verificamos o critério de parada pela norma infinita da diferença entre iterações:
maxil|xi^(5) - xi^(4)r| = max(0.0073,0.0043,0.0031) = 0.0073 < 10^-2
Logo, parámos na 5ª iteração.

Passo 6

A solução aproximada do sistema, com erro inferior a 10^-2, é obtida em k=5.

Resposta

(x1,x2,x3)approx(2.0012,,2.0018,,0.0020)

Exercícios relacionados