Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[ccc 3.1 & 2 & 1 0 & 1 & 0 1 & 3 & 2 ][l x1 x2 x3 ]=[c -5.1 -1 -4 ]
Resolvê-lo usando, quando possível, todos os métodos diretos e iterativos (duas iterações a partir de uma solução inicial dada e análise de convergência).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear Ax=b, onde
A=3.1 & 2 & 10 & 1 & 01 & 3 & 2, b=-5.1-1-4
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por métodos diretos (eliminação de Gauss, LU) e iterativos (Jacobi, Gauss–Seidel), além de analisar convergência. Vamos precisar de operações elementares de linha, factorização LU e construção das matrizes de iteração.

Passo 2

Começando por um método direto simples, note que da segunda equação temos
x2=-1
Substituindo em
3.1x1+2x2+x3=-5.1
vem
3.1x1-2+x3=-5.13.1x1+x3=-3.1 ag1
e em
x1+3x2+2x3=-4
obtém-se
x1-3+2x3=-4
ou
x1+2x3=-1 ag2
Resolvendo (1) e (2): da (1) x3=-3.1-3.1x1, inserindo em (2) resulta em x1=-1 e daí x3=0. Logo
(x1,x2,x3)=(-1,-1,0)

Passo 3

Podemos também fazer a factorização A=LU. Tomando
L=1&0&00&1&00.3226&3&1, U=3.1&2&10&1&00&0&1.6774,
resolve-se primeiro Ly=b por substituição direta e depois Ux=y, obtendo o mesmo resultado (x1,x2,x3)=(-1,-1,0).

Passo 4

Para o método de Jacobi escrevemos A=D+L+U com
D=diag(3.1,1,2), L=0&0&00&0&01&3&0, U=0&2&10&0&00&0&0
A iteração é
x^(k+1)=-D^-1(L+U)x^(k)+D^-1b
Isolando as componentes, vê-se que x2^(k)equiv-1 para todo k e o sistema reduzido em (x1,x3) tem matriz de iteração
P=0&-1/3.1-1/2&0,
cujos autovalores são pm1/raiz6.2approxpm0.402. Como o raio espectral <1, Jacobi converge. Para computar as duas iterações é preciso uma condição inicial, que não foi fornecida, logo não podemos calcular numericamente x^(1) e x^(2).

Passo 5

No método de Gauss–Seidel a iteração é
x^(k+1)=-(D+L)^-1Ux^(k)+(D+L)^-1b
Como A é, em linhas 1 e 2, estritamente diagonalmente dominante, e o espectro de TGS=-(D+L)^-1U satisfaz rho(TGS)<1, o método converge também. Mas, semelhantemente, não dá para executar duas iterações numéricas sem a solução inicial.

Passo 6

A solução exata obtida pelos métodos diretos é:

Resposta

(x1,x2,x3)=(-1,-1,0)

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