Considere o seguinte sistema de equações lineares
\left(\begin{array}{lll} 5 & 1 & 1 \\\\ 3 & 4 & 1 \\\\ 3 & 3 & 6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 5 \\\\ 6 \\\\ 0 \end{array}\right)
Resolver usando o método da eliminação de Gauss com pivotação total.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1\\\\ 3 & 4 & 1\\\\ 3 & 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\\ 6\\\ 0\end{pmatrix}
usando eliminação de Gauss com pivotação total, ou seja, em cada passo escolhemos o maior elemento (em módulo) da submatriz ainda não eliminada e, se necessário, trocamos linhas e colunas, mantendo o rastreio das permutas de variáveis.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] e buscamos o pivô total na submatriz completa. O maior valor absoluto em A é 6 na posição (3,3). Então trocamos linha 1 com linha 3 e coluna 1 com coluna 3, o que também troca x_{1} com x_{3}. Após isso, denotando as variáveis por
y_{1}=x_{3},\quad y_{2}=x_{2},\quad y_{3}=x_{1},
a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 3 & 3 & 0\\\\ 1 & 4 & 3 & 6\\\\ 1 & 1 & 5 & 5 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô 6 na coluna 1 usando
m_{21}=\frac{1}{6},\quad m_{31}=\frac{1}{6},
e aplicamos
R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{1}{6}R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{6}R_{1}.
Obtém-se
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 3 & 3 & 0\\\\ 0 & \tfrac{7}{2} & \tfrac{5}{2} & 6\\\\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{9}{2} & 5 \end{array}\right].

Passo 4

Na submatriz de linhas 2–3 e colunas 2–3, o maior valor é \tfrac{9}{2} em (3,3). Fazemos troca de linha 2 com linha 3 e coluna 2 com coluna 3, o que implica trocar y_{2} com y_{3}. Chamamos as novas variáveis de
z_{1}=y_{1},\quad z_{2}=y_{3},\quad z_{3}=y_{2}.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 3 & 3 & 0\\\\ 0 & \tfrac{9}{2} & \tfrac{1}{2} & 5\\\\ 0 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{7}{2} & 6 \end{array}\right].

Passo 5

Eliminamos abaixo do pivô \tfrac{9}{2} na coluna 2 usando
m_{32}=\frac{\tfrac{5}{2}}{\tfrac{9}{2}}=\frac{5}{9},
aplicando
R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{5}{9}R_{2}.
O sistema triangularizado fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 3 & 3 & 0\\\\ 0 & \tfrac{9}{2} & \tfrac{1}{2} & 5\\\\ 0 & 0 & \tfrac{29}{9} & \tfrac{29}{9} \end{array}\right].

Passo 6

Fazemos substituição regressiva nas variáveis z:
Da última linha,
\tfrac{29}{9}z_{3}=\tfrac{29}{9}\implies z_{3}=1.
Da segunda linha,
\tfrac{9}{2}z_{2}+\tfrac{1}{2}z_{3}=5 \implies \tfrac{9}{2}z_{2}+\tfrac{1}{2}=5 \implies z_{2}=1.
Da primeira linha,
6z_{1}+3z_{2}+3z_{3}=0 \implies 6z_{1}+3+3=0 \implies z_{1}=-1.

Passo 7

Desfazemos as permutações de variáveis: primeiro de z para y, depois de y para x. Temos
z_{1}=y_{1}=x_{3},\quad z_{2}=y_{3}=x_{1},\quad z_{3}=y_{2}=x_{2}.
Logo
x_{1}=z_{2}=1,\quad x_{2}=z_{3}=1,\quad x_{3}=z_{1}=-1.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,-1).

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