Dado o sistema de equações lineares
\left\{\begin{array}{l} -10 x+2 y+z=6 \\\\ -3 x+y+z=4 \\\ x+2 y+z=6 \end{array}\right.
Resolver o sistema:
pelo método de Gauss.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} -10x+2y+z=6,\\\\ -3x+y+z=4,\\\ x+2y+z=6, \end{cases}
e pede para resolver pelo método de eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada, eliminar graus de liberdade a partir de pivôs e depois fazer a substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema e, para ter pivô 1 na primeira linha, trocamos a linha 1 com a linha 3:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 6\\\\ -3 & 1 & 1 & 4\\\\ -10 & 2 & 1 & 6 \end{array}\right) \quad\longrightarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 6\\\\ -3 & 1 & 1 & 4\\\\ -10 & 2 & 1 & 6 \end{array}\right)
(na verdade, já era essa a ordem após a troca implícita com a terceira equação).

Passo 3

Eliminamos x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
R_2 \leftarrow R_2 + 3\,R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 10\,R_1.
Isso dá
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 6\\\\ 0 & 7 & 4 & 22\\\\ 0 & 22 & 11 & 66 \end{array}\right).

Passo 4

Agora eliminamos y da linha 3 usando a linha 2 como pivô:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{22}{7}\,R_2.
Na linha 3 restará apenas a incógnita z:
-\frac{11}{7}\,z \;=\; -\frac{22}{7} \quad\Longrightarrow\quad z = 2.

Passo 5

Fazemos substituição regressiva: da linha 2,
7y + 4z = 22 \quad\Longrightarrow\quad 7y + 4\cdot2 = 22 \quad\Longrightarrow\quad 7y = 14 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
E da linha 1,
x + 2y + z = 6 \quad\Longrightarrow\quad x + 2\cdot2 + 2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad x + 6 = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.

Resposta

(x,y,z) = (0,2,2)

Exercícios relacionados