Dado o sistema de equações lineares
\left\{\begin{array}{l} -10 x+2 y+z=6 \\\\ -3 x+y+z=4 \\\ x+2 y+z=6 \end{array}\right.
Resolver o sistema:
pelo método da decomposição LU.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} -10x + 2y + z = 6,\\\\ -3x + y + z = 4,\\\ x + 2y + z = 6, \end{cases}
e pede a solução pelo método de decomposição LU. Vamos usar a decomposição de Doolittle, que escreve a matriz dos coeficientes A como
A = LU,
onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal e U é triangular superior. Depois resolveremos Ly=b (substituição para frente) e Ux=y (substituição para trás).

Passo 2

Identificamos a matriz A e o vetor b:
A = \begin{pmatrix} -10 & 2 & 1\\\\ -3 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}6\\\ 4\\\ 6\end{pmatrix}.
Assumimos
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \ell_{21} & 1 & 0\\\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\\\ 0 & u_{22} & u_{23}\\\\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix},
e aplicamos as fórmulas de Doolittle para determinar \ell_{ij} e u_{ij}.

Passo 3

Calculamos a primeira linha de U e a primeira coluna de L:
u_{11}=a_{11}=-10,\quad u_{12}=a_{12}=2,\quad u_{13}=a_{13}=1,
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{-3}{-10}=\tfrac{3}{10}, \quad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{1}{-10}=-\tfrac{1}{10}.

Passo 4

Com esses valores, determinamos a segunda linha de U e o segundo elemento da terceira linha de L, e então u_{33}:
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12} =1-\tfrac{3}{10}\cdot2=1-\tfrac{6}{10}=\tfrac{4}{10}=\tfrac{2}{5},
u_{23}=a_{23}-\ell_{21}u_{13} =1-\tfrac{3}{10}\cdot1=\tfrac{7}{10},
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}u_{12}}{u_{22}} =\frac{2-(-\tfrac{1}{10}\cdot2)}{\tfrac{2}{5}} =\frac{2+\tfrac{2}{10}}{\tfrac{2}{5}} =\frac{\tfrac{22}{10}}{\tfrac{2}{5}} =\tfrac{11}{2},
u_{33} =a_{33}-\ell_{31}u_{13}-\ell_{32}u_{23} =1-(-\tfrac{1}{10}\cdot1)-\tfrac{11}{2}\cdot\tfrac{7}{10} =1+\tfrac{1}{10}-\tfrac{77}{20} =-\tfrac{55}{20}=-\tfrac{11}{4}.

Passo 5

As matrizes L e U ficam então
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{3}{10} & 1 & 0\\\\ -\tfrac{1}{10} & \tfrac{11}{2} & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} -10 & 2 & 1\\\\ 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{7}{10}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{11}{4} \end{pmatrix}.

Passo 6

Resolvemos Ly=b por substituição para frente:
y_1 = 6,
y_2 = 4 - \ell_{21}y_1 =4 - \tfrac{3}{10}\cdot6 =4 - \tfrac{18}{10} =\tfrac{11}{5},
y_3 = 6 - \ell_{31}y_1 - \ell_{32}y_2 =6 - \bigl(-\tfrac{1}{10}\cdot6\bigr) - \tfrac{11}{2}\cdot\tfrac{11}{5} =-\tfrac{11}{2}.
Logo y=(6,\;11/5,\;-11/2)^{T}.

Passo 7

Agora resolvemos Ux=y por substituição para trás:
u_{33}x_3 = y_3 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{11}{4}x_3 = -\tfrac{11}{2} \;\Longrightarrow\; x_3 = 2,
u_{22}x_2 + u_{23}x_3 = y_2 \;\Longrightarrow\; \tfrac{2}{5}x_2 + \tfrac{7}{10}\cdot2 = \tfrac{11}{5} \;\Longrightarrow\; x_2 = 2,
u_{11}x_1 + u_{12}x_2 + u_{13}x_3 = y_1 \;\Longrightarrow\; -10x_1 + 2\cdot2 + 1\cdot2 = 6 \;\Longrightarrow\; x_1 = 0.

Resposta

(x,y,z) = (0,2,2).

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