Seja f(x) a função tabelada abaixo
\begin{array}{l|cccccc} x & 0.0 & 0.5 & 1.0 & 1.5 & 2.0 & 2.5 \\\ \hline f(x) & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}
(a) Obtenha a tabela de diferenças divididas e calcule o polinômio interpolador p_{5}(x) de f(x) nos 6 pontos dados acima.
(b) Estime f(1.23) através de (a).

Passo 1

O enunciado dá seis pontos (x_i,f_i) com
\begin{array}{c|cccccc} i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline x_i & 0,0 & 0,5 & 1,0 & 1,5 & 2,0 & 2,5\\\ f_i=f(x_i) & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}
e pede o polinômio interpolador de Newton de grau até 5 e sua avaliação em x=1,23. Vamos usar diferenças divididas.

Passo 2

Calculamos a tabela de diferenças divididas. Chame
f[x_i]=f_i, \qquad f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i},
e assim por diante. O resultado é
\begin{array}{c|cccccc} x_i & f[x_i] & f[x_i,x_{i+1}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] & f[\cdots] & f[\cdots] & f[\cdots]\\\ \hline 0,0 & -2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0,5 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 & \\\\ 1,0 & 0 & 2 & 0 & 0 & & \\\\ 1,5 & 1 & 2 & 0 & & & \\\\ 2,0 & 2 & 2 & & & & \\\\ 2,5 & 3 & & & & & \end{array}
Repare que todas as diferenças de primeira ordem valem 2 e as de ordem superior são zero.

Passo 3

O polinômio de Newton até a ordem 5 é
p_5(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0) +\underbrace{f[x_0,x_1,x_2]}_{0}(x-x_0)(x-x_1)+\cdots,
mas como todas as diferenças acima da primeira valem zero sobra
p_5(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)=-2+2\,(x-0,0)=2x-2.

Passo 4

Para estimar f(1,23) basta calcular
p_5(1,23)=2\cdot1,23-2=2,46-2=0,46.

Resposta

(a) p_5(x)=2x-2
(b) f(1,23)\approx0,46

Exercícios relacionados