Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrr -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3 ][l x1 x2 x3 ]=[r 11 4 -2 ]
Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Jacobi-Richardson com x^(0)=(x1^(0), x2^(0), x3^(0))^t=(0.1,0.2,0.5)^t e varepsilon=0.01.

Passo 1

Então, a questão pede para resolver um sistema linear
A,x = b
onde
$$A = A = -9 & 5 & 62 & 3 & 1-1 & 1 & -3, b = 114-2,,\quad
b = x^(0) = 0.10.20.5, éx^{(0)} = $$
e tolerância .
O conteúdo aqui é Equações Lineares e Métodos Iterativos (Jacobi).
Para decidir se podemos aplicar Jacobi com garantia de convergência, precisamos verificar se a matriz é estritamente diagonalmente dominante (ou outro critério de convergência).

Passo 2

Uma condição simples de convergência para Jacobi é a dominância diagonal.
Para cada linha |aii| > sumjneq i |aij| de , com o elemento diagonal e os outros na mesma linha, a dominância exigiria
Vamos checar linha a linha:
  1. Linha 1: , .
    Aqui e (na verdade ), então não é estritamente dominante.
  2. Linha 2: , .
    Aqui , mas precisamos de “ ” para ser estrita, então também não satisfaz.
  3. Linha 3: , .
    Aqui , esta linha é estritamente dominante, mas já basta uma falha para perder a garantia.
Como pelo menos uma linha não satisfaz a condição estrita, não temos garantia de convergência pelo critério de dominância diagonal.

Resposta

Não há convergência garantida pelo teste de dominância diagonal, portanto não podemos assegurar que o método de Jacobi-Richardson vá convergir para a solução desejada com .

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