Considere a seguinte tabela:
x 0 6 10 13 17
f(x) 6,67 17,33 42,67 37,33 30,10
n 0 1 2 3 4
Determine o polinômio de grau 4 que interpola os pontos utilizando a Forma de Newton

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos e o que precisamos.
Enunciado: precisamos achar o polinômio de grau 4 que passa pelos cinco pontos
(0,6.67),;(6,17.33),;(10,42.67),;(13,37.33),;(17,30.10)
Conteúdo: interpolação polinomial pela Forma de Newton.
O que vamos usar: tabela de diferenças divididas e a fórmula
P4(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+cdots
Não se preocupa se nunca viu isso antes, vou explicar cada passo.

Passo 2

Primeiro, montamos a tabela de diferenças divididas.
Anotamos
x0=0,;x1=6,;x2=10,;x3=13,;x4=17
e
f[xi]=f(xi):;f[x0]=6.67,;f[x1]=17.33,;f[x2]=42.67,;f[x3]=37.33,;f[x4]=30.10
Agora calculamos as diferenças de primeira ordem:
f[xi,xi+1]=f[xi+1]-f[xi]xi+1-xi
Para f[x0,x1]&=17.33-6.676-0=1.7767, f[x1,x2]&=42.67-17.3310-6=6.3350, f[x2,x3]&=37.33-42.6713-10=-1.7800, f[x3,x4]&=30.10-37.3317-13=-1.8075 :

Passo 3

Agora as diferenças de segunda ordem, usando
f[xi,xi+1,xi+2] =f[xi+1,xi+2]-f[xi,xi+1]xi+2-xi,
para f[x0,x1,x2]&=6.3350-1.776710-0=0.4558, f[x1,x2,x3]&=-1.7800-6.335013-6=-1.1593, f[x2,x3,x4]&=-1.8075-(-1.7800)17-10=-0.0039 :

Passo 4

Terceira ordem, pela fórmula análoga, para f[x0,x1,x2,x3] &=-1.1593-0.455813-0=-0.1242, f[x1,x2,x3,x4] &=-0.0039-(-1.1593)17-6=0.1059 :

Passo 5

Quarta ordem, de uma vez só:
f[x0,x1,x2,x3,x4] =0.1059-(-0.1242)17-0=0.01354

Passo 6

Já temos todos os coeficientes da Forma de Newton:
a0&=f[x0]=6.67, a1&=f[x0,x1]=1.7767, a2&=f[x0,x1,x2]=0.4558, a3&=f[x0,x1,x2,x3]=-0.1242, a4&=f[x0,x1,x2,x3,x4]=0.01354
Aí o polinômio é
P4(x)=a0 +a1(x-0) +a2(x-0)(x-6) +a3(x-0)(x-6)(x-10) +a4(x-0)(x-6)(x-10)(x-13)

Resposta

boxed% P4(x)=6.67 +1.7767,x +0.4558,x(x-6) -0.1242,x(x-6)(x-10) +0.01354,x(x-6)(x-10)(x-13)

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