Considere os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva-os pelo método de Euler:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=y^{2}+1 \\\ y(0)=0 \quad ; \quad 0 \leq x \leq 1 \quad ; \quad h=0.2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução de
y' = y^2 + 1,\quad y(0)=0
no intervalo [0,1] usando o método de Euler explícito com passo h=0.2. Vamos aplicar a fórmula de Euler em cada nó x_n = n h.

Passo 2

A fórmula do método de Euler explícito é
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde aqui f(x,y)=y^2+1.

Passo 3

No ponto inicial x_0=0, y_0=0. Então
y_1 = y_0 + 0.2\,(y_0^2+1) = 0 + 0.2\cdot(0^2+1) = 0.2.

Passo 4

Em x_1=0.2 com y_1=0.2:
y_2 = 0.2 + 0.2\,(0.2^2+1) = 0.2 + 0.2\cdot1.04 = 0.408.

Passo 5

Em x_2=0.4 com y_2=0.408:
y_3 = 0.408 + 0.2\,(0.408^2+1) = 0.408 + 0.2\cdot1.166464 \approx 0.641293.

Passo 6

Em x_3=0.6 com y_3\approx0.641293:
y_4 = 0.641293 + 0.2\,(0.641293^2+1) = 0.641293 + 0.2\cdot1.411260 \approx 0.923545.

Passo 7

Em x_4=0.8 com y_4\approx0.923545:
y_5 = 0.923545 + 0.2\,(0.923545^2+1) = 0.923545 + 0.2\cdot1.852932 \approx 1.294131.

Resposta

Aproximações pelo método de Euler com h=0.2:
\begin{aligned} x_0&=0,\; y_0=0,\\\ x_1&=0.2,\; y_1=0.2,\\\ x_2&=0.4,\; y_2=0.408,\\\ x_3&=0.6,\; y_3\approx0.641293,\\\ x_4&=0.8,\; y_4\approx0.923545,\\\ x_5&=1.0,\; y_5\approx1.294131. \end{aligned}

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