Reescreva as seguintes equações como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1^{\text {a }} ordem:
\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}^{\prime \prime \prime}+\left(\mathrm{xy}^{\prime \prime}\right)^{2} /\left(1+\mathrm{y}^{\prime}\right)^{2}+\log (1+\mathrm{y})=0 \\\ \mathrm{y}(0)=\mathrm{y}^{\prime}(0)=0, \mathrm{y}^{\prime \prime}(0)=1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação
y''' + \frac{(x\,y'')^2}{\bigl(1 + y'\bigr)^2} + \log\bigl(1 + y\bigr) = 0
com condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=1
num sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

Passo 2

Para reduzir a ordem, definimos variáveis de estado que capturem as derivadas até segunda ordem:
y_{1} = y,\quad y_{2} = y',\quad y_{3} = y''.

Passo 3

As derivadas dessas novas variáveis são:
y_{1}' = y_{2}
y_{2}' = y_{3}
y_{3}' = y'''

Passo 4

Substituindo y''' da equação original em y_{3}', obtemos
y_{3}' = -\,\frac{(x\,y_{3})^{2}}{(1 + y_{2})^{2}}\;-\;\ln\bigl(1 + y_{1}\bigr)

Resposta

\begin{cases} y_{1}' = y_{2},\\[6pt] y_{2}' = y_{3},\\[6pt] y_{3}' = -\,\dfrac{(x\,y_{3})^{2}}{(1 + y_{2})^{2}} \;-\; \ln\bigl(1 + y_{1}\bigr), \end{cases}
com
y_{1}(0)=0,\quad y_{2}(0)=0,\quad y_{3}(0)=1.]

Exercícios relacionados