Considere os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva-os pelo método de Taylor de ordem 2:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=-2 x y \quad ; \\\ y(0)=1 \quad 0 \leq x \leq 0.6 \quad ; \quad h=0.3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução do problema de valor inicial
y' = -2xy,\quad y(0)=1
no intervalo 0\le x\le0.6 com passo h=0.3 usando o método de Taylor de ordem 2. Vamos precisar usar a expansão
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n) + \frac{h^2}{2}\Bigl(f_x(x_n,y_n) + f_y(x_n,y_n)\,f(x_n,y_n)\Bigr),
onde f(x,y)=-2xy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -2x.
Então
f_x + f_y\,f = -2y + (-2x)\bigl(-2xy\bigr) = -2y + 4x^2y = y\bigl(-2 + 4x^2\bigr).
A fórmula do método fica assim:
y_{n+1} = y_n + h\bigl(-2x_ny_n\bigr) + \frac{h^2}{2}\;y_n\bigl(-2+4x_n^2\bigr).

Passo 3

No ponto inicial x_0=0, y_0=1, temos
f(0,1) = -2\cdot0\cdot1 = 0, \qquad f_x+f_yf = 1\bigl(-2+4\cdot0^2\bigr) = -2.
Logo
y_1 = 1 + 0.3\cdot0 + \frac{0.3^2}{2}(-2) = 1 + 0 - 0.09 = 0.91.

Passo 4

No próximo ponto x_1=0.3, y_1=0.91, calculamos
f(0.3,0.91) = -2\cdot0.3\cdot0.91 = -0.546,
f_x+f_yf = 0.91\bigl(-2 + 4\cdot0.3^2\bigr) = 0.91(-2+0.36) = 0.91(-1.64) = -1.4924.
Então
y_2 = 0.91 + 0.3\cdot(-0.546) + \frac{0.3^2}{2}(-1.4924) = 0.91 - 0.1638 - 0.067158 = 0.679042.

Resposta

Aproximações pelo método de Taylor de ordem 2: y(0.3)\approx0.91, y(0.6)\approx0.67904.

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