Uma rolha de cortiça de comprimento L\) vai ser expulsa duma garrafa contendo um liquido em fermentação. As equações do movimento da rolha podem ser descritas pelas seguintes equaçöes diferenciais:
\[\begin{cases}\frac{d x}{d t}=v & \begin{cases}g(1+q)\left[\left(1+\frac{x}{d}\right)^{-\gamma}+\frac{R t}{100}-1+\frac{q x}{L(1+q)}\right], & x<L \\\ \frac{d v}{d t}= & x \geq L\end{cases} \end{cases}
em que
g\] é a aceleração da gravidade ( \[9.81 \mathrm{~ms}^{-2} )
q é o coeficiente de atrito da rolha x é o deslocamento da rolha no gargalo da garrafa t é o tempo
d é o comprimento do gargalo da garrafa R é a razão percentual de aumento da pressio \gamma é a constante adiabática para o gas na garrafa (1.4)
Considerando q=20, L=3.75 \mathrm{~cm}, d=5 \mathrm{~cm}, R=4, o sistema, após a substituição das constantes transforma-se em
As condições auxiliares do problema siio x(0)=v(0)=0\]. Enquanto que \(x<L a rolha mantén-se na garrafa, sendo expelida quando x=L. Considere o passo h=0.75. Será que ao fim de duas etapas a rolha já saiu da garrafa? Qual a velocidade atingida na segunda etapa?
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações de movimento da rolha enquanto x<L\):
\[\begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{dt}=v,\\[6pt] \displaystyle \frac{dv}{dt}=206.01\Bigl[(1+0.2\,x)^{-1.4}+0.04\,t-1+0.25397\,x\Bigr], \end{cases}
com x(0)=0\], \(v(0)=0, comprimento da rolha L=3.75 (cm) e passo de integração h=0.75 (s). Vamos usar o método de Euler explícito para ver, após duas etapas, se x atingiu L e qual é v.]
Passo 2
Definimos os valores iniciais e o passo:
t_0=0,\quad x_0=0,\quad v_0=0,\quad h=0.75.
Passo 3
Calculamos o crescimento da velocidade na etapa 1: