Uma rolha de cortiça de comprimento L\) vai ser expulsa duma garrafa contendo um liquido em fermentação. As equações do movimento da rolha podem ser descritas pelas seguintes equaçöes diferenciais: \[\begin{cases}\frac{d x}{d t}=v & \begin{cases}g(1+q)\left[\left(1+\frac{x}{d}\right)^{-\gamma}+\frac{R t}{100}-1+\frac{q x}{L(1+q)}\right], & x<L \\\ \frac{d v}{d t}= & x \geq L\end{cases} \end{cases}
em que
g\] é a aceleração da gravidade ( \[9.81 \mathrm{~ms}^{-2} )
q é o coeficiente de atrito da rolha
x é o deslocamento da rolha no gargalo da garrafa
t é o tempo
d é o comprimento do gargalo da garrafa
R é a razão percentual de aumento da pressio
\gamma é a constante adiabática para o gas na garrafa (1.4)
Considerando q=20, L=3.75 \mathrm{~cm}, d=5 \mathrm{~cm}, R=4, o sistema, após a substituição das constantes transforma-se em
\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=v \\\ \frac{d v}{d t}= \begin{cases}206.01\left[(1+0.2 x)^{-1.4}+0.04 t-1+0.25397 x\right], & x<3.75 \\\\ 0, & x \geq 3.75\end{cases} \end{array}\right.
As condições auxiliares do problema siio x(0)=v(0)=0\]. Enquanto que \(x<L a rolha mantén-se na garrafa, sendo expelida quando x=L. Considere o passo h=0.75. Será que ao fim de duas etapas a rolha já saiu da garrafa? Qual a velocidade atingida na segunda etapa?

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações de movimento da rolha enquanto x<L\): \[\begin{cases} \displaystyle \frac{dx}{dt}=v,\\[6pt] \displaystyle \frac{dv}{dt}=206.01\Bigl[(1+0.2\,x)^{-1.4}+0.04\,t-1+0.25397\,x\Bigr], \end{cases}
com x(0)=0\], \(v(0)=0, comprimento da rolha L=3.75 (cm) e passo de integração h=0.75 (s). Vamos usar o método de Euler explícito para ver, após duas etapas, se x atingiu L e qual é v.]

Passo 2

Definimos os valores iniciais e o passo:
t_0=0,\quad x_0=0,\quad v_0=0,\quad h=0.75.

Passo 3

Calculamos o crescimento da velocidade na etapa 1:
\left.\frac{dv}{dt}\right|_{(x_0,t_0)} =206.01\bigl[(1+0.2\cdot0)^{-1.4}+0.04\cdot0-1+0.25397\cdot0\bigr] =206.01\,(1-1)=0.

Passo 4

Aplicando Euler na primeira etapa:
x_1 = x_0 + h\,v_0 = 0 + 0.75\cdot0 = 0,
v_1 = v_0 + h\left.\frac{dv}{dt}\right|_{(x_0,t_0)} = 0 + 0.75\cdot0 = 0.

Passo 5

Agora t_1=t_0+h=0.75. Calculamos o crescimento da velocidade na etapa 2:
\left.\frac{dv}{dt}\right|_{(x_1,t_1)} =206.01\bigl[(1+0.2\cdot0)^{-1.4}+0.04\cdot0.75-1+0\bigr] =206.01\cdot0.03 =6.1803.

Passo 6

Aplicando Euler na segunda etapa:
x_2 = x_1 + h\,v_1 = 0 + 0.75\cdot0 = 0,
v_2 = v_1 + h\left.\frac{dv}{dt}\right|_{(x_1,t_1)} = 0 + 0.75\cdot6.1803 \approx 4.6352.

Passo 7

Com x_2=0< L=3.75, a rolha ainda não saiu da garrafa após duas etapas.

Resposta

Não. Após duas etapas x_2=0<3.75 (cm), logo a rolha não saiu, e a velocidade na segunda etapa é
v_2\approx4.6352\text{ (cm/s)}.

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