1^{\text {a }} Questão: Resolva cada uma das seguintes integrais. (Cada item vale 1 ponto).
\int(\cos (x)-3 t g(x)+\sqrt{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(\cos(x)-3\tan(x)+\sqrt{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve integração indefinida usando a propriedade de linearidade e as fórmulas básicas para integrais de funções trigonométricas e de potências.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos em três parcelas:
\int\bigl(\cos(x)-3\tan(x)+\sqrt{x}\bigr)\,dx = \int\cos(x)\,dx -3\int\tan(x)\,dx +\int x^{1/2}\,dx.

Passo 3

Usamos as fórmulas conhecidas:
\int\cos(x)\,dx = \sin(x), \qquad \int\tan(x)\,dx = -\ln\bigl\lvert\cos(x)\bigr\rvert.
Portanto,
-3\int\tan(x)\,dx =-3\bigl(-\ln\lvert\cos(x)\rvert\bigr) =3\ln\lvert\cos(x)\rvert.

Passo 4

Para a parte em raiz, escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2} e aplicamos
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad\text{com}\quad n=\tfrac12,
obtendo
\int x^{1/2}\,dx =\frac{x^{3/2}}{3/2} =\frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 5

Somando todas as partes e incluindo a constante de integração C, concluímos que
\int\bigl(\cos(x)-3\tan(x)+\sqrt{x}\bigr)\,dx =\sin(x)+3\ln\bigl\lvert\cos(x)\bigr\rvert+\frac{2}{3}x^{3/2}+C.

Resposta

\sin(x)+3\ln\lvert\cos(x)\rvert+\tfrac{2}{3}x^{3/2}+C

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