Considere o sistema abaixo com o parâmetro a \in \mathbb{R} :
\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\ z & =2 \\\ \left(a^{2}-4\right) z & =a-2 \end{aligned}
a) Encontre os valores de a de modo que o sistema possua infinitas soluções.
b) Encontre os valores de a de modo que o sistema não possua soluções.
[Resp.: Infinitas soluções se a=2 ou a=-\frac{3}{2}. Caso contrário, nenhuma solução]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em três incógnitas x,y,z dependente de um parâmetro a. Vamos usar substituição para analisar quando ele é compatível e determinar o tipo de solução (infinitas ou nenhuma).

Passo 2

Da segunda equação temos diretamente
z = 2.

Passo 3

Substituindo z=2 na terceira equação
\bigl(a^2 - 4\bigr)\,z = a - 2
ficamos com
\bigl(a^2 - 4\bigr)\cdot 2 = a - 2
que é a equação paramétrica que garante consistência entre segunda e terceira linha.

Passo 4

Resolvendo
2\,a^2 - 8 = a - 2
reorganizamos para
2a^2 - a - 6 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 2\cdot(-6) = 1 + 48 = 49,
logo as raízes são
a = \frac{1 \pm 7}{4},
isto é
a = 2 \quad\text{ou}\quad a = -\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Para a=2 ou a=-\tfrac{3}{2} a terceira equação se torna verdadeira com z=2. Então o sistema reduz-se a
x + y + 2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x + y = 2,
o que dá uma família infinita de pares (x,y).
Para qualquer outro valor de a, a imposição
(a^2 - 4)\cdot 2 = a - 2
é falsa, gerando contradição entre as segundas e terceiras equações, logo o sistema não tem solução.

Resposta

Infinitas soluções se a = 2 ou a = -\tfrac{3}{2}.
Nenhuma solução para todo a \neq 2 e a \neq -\tfrac{3}{2}.

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