Dada a matriz A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right), determinar uma matriz X \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) de maneira que
A \cdot X=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede uma matriz X\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) tal que
A\cdot X \;=\;\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
sendo
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolução de equação matricial na forma A X = B, usando invertibilidade de A.

Passo 2

Verificamos se A é invertível, calculando seu determinante:
\det(A) = 2\cdot1 - 1\cdot1 = 1 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, existe única solução dada por
X = A^{-1}B,
onde B=A.

Passo 3

Vamos calcular A^{-1}. Para
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},
a matriz adjunta (matriz dos cofatores transposta) é
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix},
e como \det(A)=1,
A^{-1} = \operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora X = A^{-1}A. Como A^{-1}A = I_2, onde I_2 é a identidade de ordem 2, concluímos
X = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

X = I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

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