Considere o sistema
4 alpha+(1+2 i) beta=1
(1-2 i) alpha+6 beta=5+9 i
onde alpha=x1+x2 i e beta==x3+x4 i
Multiplicando-se e igualando as partes real e imaginária de cada equação, separadamente, resulta um sistema linear 4x4, cuja solução fornece as partes real e imaginária.
Resolva pelo método de eliminação de Gauss.

Passo 1

Primeiro, vamos ao que a questão pede: temos um sistema de equações em números complexos envolvendo alpha=x1+ix2 e beta=x3+ix4. O conteúdo aqui é transformar esse sistema complexo em um sistema real 4×4 separando parte real e imaginária, e depois resolver por eliminação de Gauss.

Passo 2

Da primeira equação 4alpha+(1+2i)beta=1, substituímos alpha=x1+ix2 e beta=x3+ix4. Expandindo e agrupando parte real e imaginária, temos:
4(x1 + i x2) + (1 + 2i)(x3 + i x4) = (4x1 + x3 - 2x4) + i,(4x2 + 2x3 + x4)
Igualando à parte real =1 e imaginária =0, surgem as duas equações:
4x1 + x3 - 2x4 = 1
4x2 + 2x3 + x4 = 0

Passo 3

Da segunda equação (1-2i)alpha + 6beta = 5 + 9i, fazemos o mesmo:
(1 - 2i)(x1 + i x2) + 6(x3 + i x4) = (x1 + 2x2 + 6x3) + i(x2 - 2x1 + 6x4)
Que igualado a 5 + 9i gera mais duas equações reais:
x1 + 2x2 + 6x3 = 5
-2x1 + x2 + 6x4 = 9

Passo 4

Agora temos o sistema real 4×4 em (x1,x2,x3,x4). Montamos a matriz aumentada:
[cccc|c 4 & 0 & 1 & -2 & 1 0 & 4 & 2 & 1 & 0 1 & 2 & 6 & 0 & 5 -2 & 1 & 0 & 6 & 9 ]

Passo 5

Para facilitar, permutamos a linha 1 com a linha 3 (pivot mais simples):
[cccc|c 1 & 2 & 6 & 0 & 5 0 & 4 & 2 & 1 & 0 4 & 0 & 1 & -2 & 1 -2 & 1 & 0 & 6 & 9 ]

Passo 6

Usando esse primeiro pivot (1 na posição x1), zeramos embaixo:
  • R3 R3 - 4R1
  • R4 R4 + 2R1
    Resultando em:
[cccc|c 1 & 2 & 6 & 0 & 5 0 & 4 & 2 & 1 & 0 0 & -8 & -23 & -2 & -19 0 & 5 & 12 & 6 & 19 ]

Passo 7

Agora o segundo pivot é o 4 em R2. Zeramos abaixo dele:
  • R3 R3 + 2R2
  • R4 R4 - tfrac54R2
    O que dá:
[cccc|c 1 & 2 & 6 & 0 & 5 0 & 4 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -19 & 0 & -19 0 & 0 & tfrac192 & tfrac194 & 19 ]

Passo 8

O terceiro pivot é -19 em R3. Zeramos abaixo:
  • R4 R4 + tfrac12 R3
    Fica:
[cccc|c 1 & 2 & 6 & 0 & 5 0 & 4 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -19 & 0 & -19 0 & 0 & 0 & tfrac194 & tfrac192 ]

Passo 9

Por fim, fazemos retro-substituição:
  • Da última linha: tfrac194x4 = tfrac192 x4 = 2
  • Da terceira: -19x3 = -19 x3 = 1
  • Da segunda: 4x2 + 2x3 + x4 = 0 4x2 +2+2 =0 x2 = -1
  • Da primeira: x1 + 2x2 + 6x3 =5 x1 -2 +6 =5 x1 =1

Resposta

x1 = 1, ; x2 = -1, ; x3 = 1, ; x4 = 2

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