A matriz A pode ser decomposta em LU? Quais as condições para isso ser possível?
Passo 1
O enunciado pede para descobrir quando a matriz
A =
[ [1, α, 3],
[1, 1, 4],
[5, 2, 1] ]
admite uma decomposição do tipo A = LU (sem pivotamento). Vamos precisar de teoria de eliminação gaussiana e da condição de que todos os menores principais de A sejam não nulos.
Passo 2
Para que uma matriz A admita LU sem trocar linhas (sem pivotamento), basta que todos os menores principais (determinantes das submatrizes formadas pelos primeiros k pivôs) sejam diferentes de zero. Em outras palavras, se Δ₁, Δ₂ e Δ₃ são os menores principais de ordem 1, 2 e 3 de A, precisamos de
Passo 3
O menor principal de ordem 1 é simplesmente o elemento (1,1):
Ele já é diferente de zero para qualquer α, então não impõe restrição.
Passo 4
O menor principal de ordem 2 é o determinante da submatriz formada pelas duas primeiras linhas e colunas:
Para ter Δ₂ ≠ 0, precisamos de
1 - α neq 0 Longrightarrow α neq 1
Passo 5
O menor principal de ordem 3 é o determinante de A. Fazendo a expansão de Laplace na primeira linha: