Considere o sistema Ax=b
| 1 |l|l|l|l|l|l| hline | 1 & $alpha$ & 3 & |x1| & & | b1 hline | 1 & 1 & 4 & x2 & $=$ & | b2 hline | 5 & 2 & $1 mid$ & | x3| & & | b3 | hline 3 |x1| | b1
| 1 1 4 x2 | b2
| 5 2 | x3| | b3 |
A matriz A pode ser decomposta em LU? Quais as condições para isso ser possível?

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quando a matriz
A =
[ [1, α, 3],
[1, 1, 4],
[5, 2, 1] ]
admite uma decomposição do tipo A = LU (sem pivotamento). Vamos precisar de teoria de eliminação gaussiana e da condição de que todos os menores principais de A sejam não nulos.

Passo 2

Para que uma matriz A admita LU sem trocar linhas (sem pivotamento), basta que todos os menores principais (determinantes das submatrizes formadas pelos primeiros k pivôs) sejam diferentes de zero. Em outras palavras, se Δ₁, Δ₂ e Δ₃ são os menores principais de ordem 1, 2 e 3 de A, precisamos de
Δk neq 0, k=1,2,3

Passo 3

O menor principal de ordem 1 é simplesmente o elemento (1,1):
Δ1 = a11 = 1
Ele já é diferente de zero para qualquer α, então não impõe restrição.

Passo 4

O menor principal de ordem 2 é o determinante da submatriz formada pelas duas primeiras linhas e colunas:
Δ2 = det1 & α 1 & 1 = 1cdot1 - αcdot1 = 1-α
Para ter Δ₂ ≠ 0, precisamos de
1 - α neq 0 Longrightarrow α neq 1

Passo 5

O menor principal de ordem 3 é o determinante de A. Fazendo a expansão de Laplace na primeira linha:
Δ3 = det(A) = 1cdotdet1 & 4 2 & 1 - αcdotdet1 & 4 5 & 1 + 3cdotdet1 & 1 5 & 2
Calculando cada menor:
det1 & 4 2 & 1=1-8=-7, det1 & 4 5 & 1=1-20=-19, det1 & 1 5 & 2=2-5=-3
Logo,
Δ3 = 1cdot(-7) - αcdot(-19) + 3cdot(-3) = -7 +19α -9 = 19α -16
Para ter Δ₃ ≠ 0, é preciso
19α -16 neq 0 Longrightarrow α neq 1619

Passo 6

Concluindo, a matriz A admite decomposição LU sem precisar de pivotamento exatamente quando nenhum dos menores principais se anula. As condições são:
α ≠ 1 e α ≠ 16/19.

Resposta

A admite LU sem pivotamento se, e somente se, α neq 1 e α neq 16/19.

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