Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante \mathrm{F}(4,3,-3,3)
(a) Quantos números podemos representar nesse sistema?
(b) Qual o maior número da base 10 que podemos representar nesse sistema?
(c) Represente por arredondamento: x_{1}=(32,3231)_{4} no sistema indicado. Represente os valores reais e arredondas de x_{1} na base 10 e determine os erros absolutos e relativos do arredondamento efetuado nessa base.

Passo 1

O sistema de ponto flutuante \mathrm{F}(4,3,-3,3) tem base \beta=4, precisão t=3 dígitos e expoentes e variando de L=-3 até U=3.
Conteúdo: contagem de pontos flutuantes normalizados, cálculo do maior valor representável e arredondamento de um número dado.

Passo 2

Para contar quantos números normalizados podemos representar, note que
– o número de mantissas normalizadas é
(\beta-1)\,\beta^{\,t-1} \;=\;(4-1)\,4^{2}\;=\;3\cdot16\;=\;48;
– o número de valores de expoente é
U - L + 1 \;=\;3 - (-3) + 1\;=\;7;
– cada par mantissa–expoente pode ter sinal + ou -, dando 48\times7\times2=672 valores não nulos;
– somando o zero, obtemos 672+1=673 números.

Passo 3

O maior número ocorre para mantissa máxima e expoente máximo. A mantissa máxima em base 4 é
(3.33)_{4} \;=\;3 + \tfrac{3}{4} + \tfrac{3}{16} \;=\;3{,}9375,
e o maior expoente é e=3, logo
\max = 3{,}9375 \times 4^{3} \;=\;3{,}9375 \times 64 \;=\;252.

Passo 4

Queremos arredondar
x_{1} = (32.3231)_{4}.
Primeiro normalizamos em três dígitos de mantissa:
(32.3231)_{4} \;=\;(3.23231)_{4}\times4^{1}.
Aqui os dígitos são d_{0}=3,\\ d_{1}=2,\\ d_{2}=3 e o quarto dígito para arredondar é d_{3}=2.
No arredondamento para mais próximo, como d_{3}\ge\beta/2=2, incrementa-se d_{2}:
[3,2,3]\;\longrightarrow\;[3,2,4]\;\longrightarrow\;[3,3,0]\quad(\text{em base }4),
ficando a mantissa arredondada (3.30)_{4} e o expoente 1.
Assim
x_{1,\mathrm{fp}}=(3.30)_{4}\times4^{1}=(33.0)_{4}.

Passo 5

Convertendo para decimal:
x_{1} = 3\cdot4 + 2 + \tfrac{3}{4} + \tfrac{2}{16} + \tfrac{3}{64} + \tfrac{1}{256} =14{,}92578125,
x_{1,\mathrm{fp}} = (3 + \tfrac{3}{4} + 0)\times4 =3{,}75\times4=15.
O erro absoluto é
\lvert\,15 - 14{,}92578125\rvert =0{,}07421875,
e o erro relativo é
\frac{0{,}07421875}{14{,}92578125}\approx0{,}004974\;(\approx0{,}4974\%).

Resposta

(a) 673
(b) 252
(c)
Arredondamento em \mathrm{F}(4,3,-3,3):
x_{1,\mathrm{fp}}=(3.30)_{4}\times4^{1}=(33.0)_{4}.
Valores em decimal:
x_{1}=14{,}92578125,\quad x_{1,\mathrm{fp}}=15,
erro absoluto =0{,}07421875, erro relativo \approx0{,}004974.

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