Usando o Método da Bissecção, determine uma raiz das funções a seguir com a precisão \varepsilon=10^{-3}
f(x)=x^{3}-\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz de f(x)=x^{3}-\sin x usando o método da Bissecção com precisão \varepsilon=10^{-3}. Para isso precisamos:
  1. Escolher um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
  2. Repetir a bissecção até que o comprimento do intervalo |b-a| seja menor ou igual a \varepsilon.
  3. A raiz aproximada será qualquer ponto dentro do intervalo final, tipicamente o ponto médio.

Passo 2

Procuramos um intervalo inicial. Vamos testar alguns valores:
f(0{,}5)=0{,}5^{3}-\sin(0{,}5)=0{,}125-0{,}4794\approx-0{,}3544,
f(1)=1^{3}-\sin(1)=1-0{,}8415\approx0{,}1585.
Como f(0{,}5)<0 e f(1)>0, podemos tomar a=0{,}5 e b=1.

Passo 3

Aplicamos a bissecção até b-a\le\varepsilon.
  1. m_{1}=(0{,}5+1)/2=0{,}75, f(0{,}75)=0{,}75^{3}-\sin(0{,}75)\approx0{,}422-0{,}6816=-0{,}2596<0,troca a\leftarrow0{,}75.
  2. m_{2}=(0{,}75+1)/2=0{,}875, f(0{,}875)=0{,}875^{3}-\sin(0{,}875)\approx0{,}669-0{,}7675=-0{,}0985<0,troca a\leftarrow0{,}875.
  3. m_{3}=(0{,}875+1)/2=0{,}9375, f(0{,}9375)=0{,}9375^{3}-\sin(0{,}9375)\approx0{,}825-0{,}8069=0{,}0181>0,troca b\leftarrow0{,}9375.
    Agora [a,b]=[0{,}875,0{,}9375] com comprimento 0{,}0625>10^{-3}. Continuamos:
  4. m_{4}=(0{,}875+0{,}9375)/2=0{,}90625, f(0{,}90625)\approx0{,}744-0{,}7887=-0{,}0447<0,troca a\leftarrow0{,}90625.
    Novo intervalo [0{,}90625,0{,}9375}] de comprimento 0{,}03125.
  5. m_{5}=(0{,}90625+0{,}9375)/2=0{,}921875, f(0{,}921875)\approx0{,}783-0{,}7982=-0{,}0152<0,troca a\leftarrow0{,}921875.
    Comprimento = 0{,}015625.
  6. m_{6}=(0{,}921875+0{,}9375)/2=0{,}9296875, f(0{,}9296875)\approx0{,}804-0{,}8026=0{,}0014>0,troca b\leftarrow0{,}9296875.
    Comprimento = 0{,}0078125.
  7. m_{7}=(0{,}921875+0{,}9296875)/2=0{,}92578125, f(0{,}92578125)\approx0{,}794-0{,}8004=-0{,}0064<0,troca a\leftarrow0{,}92578125.
    Comprimento = 0{,}00390625.
  8. m_{8}=(0{,}92578125+0{,}9296875)/2=0{,}927734375, f(0{,}927734375)\approx0{,}799-0{,}8015=-0{,}0025<0,troca a\leftarrow0{,}927734375.
    Comprimento = 0{,}001953125.
  9. m_{9}=(0{,}927734375+0{,}9296875)/2=0{,}9287109375, f(0{,}9287109375)\approx0{,}802-0{,}8021=-0{,}0006<0,troca a\leftarrow0{,}9287109375.
    Comprimento = 0{,}0009765625\le10^{-3}.

Resposta

A raiz aproximada, com erro menor que 10^{-3}, é
x\approx0{,}929.

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