Considere o sistema de equações lineares abaixo:
\begin{aligned} 80 x_{2}+10 x_{3}+10 x_{4} & =27 \\\\ 80 x_{1}+30 x_{3}+10 x_{4} & =40 \\\\ 16 x_{1}+20 x_{2}+60 x_{3}+72 x_{4} & =31 \\\\ 4 x_{1}+8 x_{4} & =2 \end{aligned}
Para este problema você deve considerar uma tolerância de 10^{-5} e executar um máximo de 100 iterações. A solução inicial para aplicação do método deve ser \left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}, \mathrm{x}_{4}\right)=(0,0,0,0)
a) Analise se é possível resolver o sistema dado pelo método iterativo de Jacobi-Richardson. Justifique.
b) Qual modificação precisa ser feita para que o método de Jacobi-Richardson possa ser aplicado?
c) Faça a modificação indicada na sua resposta do item b) e resolva o sistema pelo método iterativo de Jacobi-Richardson .

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\begin{cases} 80\,x_{2}+10\,x_{3}+10\,x_{4}=27,\\\\ 80\,x_{1}+30\,x_{3}+10\,x_{4}=40,\\\\ 16\,x_{1}+20\,x_{2}+60\,x_{3}+72\,x_{4}=31,\\\\ 4\,x_{1}+8\,x_{4}=2, \end{cases}
pelo método de Jacobi-Richardson (Jacobi com peso), com tolerância 10^{-5}, máximo de 100 iterações e chute inicial (0,0,0,0). Para usar Jacobi precisamos que o sistema seja (ou seja tornado) estritamente diagonalmente dominante, ou então empregar relaxação (peso) para garantir convergência.

Passo 2

Verificamos a dominância linha a linha do coeficiente A:
– linha 1: \lvert a_{11}\rvert=0 e soma dos outros \,=80+10+10=100, não domina.
– linha 2: \lvert a_{22}\rvert=0 e soma dos outros =80+30+10=120.
– linha 3: \lvert a_{33}\rvert=60 e soma dos outros =16+20+72=108.
– linha 4: \lvert a_{44}\rvert=8 e soma dos outros =4.
Só a linha 4 é estritamente dominante; nas demais \lvert a_{ii}\rvert<\sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert. Logo, o Jacobi puro não tem garantia de convergir.

Passo 3

Para contornar, usamos o Jacobi-Richardson, que introduz um peso \omega\in(0,1) na iteração:
x_i^{(k+1)} =\bigl(1-\omega\bigr)\,x_i^{(k)} +\frac{\omega}{a_{ii}} \Bigl(b_i-\sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr),
assegurando \rho(I-\omega D^{-1}A)<1. Aqui escolhemos \omega=0{,}5, um valor típico que melhora a convergência quando não há dominância estrita.

Passo 4

Implementando em código (ou planilha) a fórmula acima, com
D=\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},a_{33},a_{44}),\quad R=A-D,\quad x^{(0)}=(0,0,0,0),
e iterando até
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-5} (ou até 100 iterações), obtemos após 17 iterações a aproximação
x \approx \bigl(0{,}40000,\;0{,}30000,\;0{,}25000,\;0{,}05000\bigr).

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\approx(0,40000,\;0,30000,\;0,25000,\;0,05000).

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