Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{r}10 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=9, \\\\ -3 x_{1}+15 x_{2}+2 x_{3}=27, \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+8 x_{3}=-5 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 10x_1 - 2x_2 + x_3 = 9,\\\\ -3x_1 + 15x_2 + 2x_3 = 27,\\\\ 2x_1 - x_2 + 8x_3 = -5 \end{cases}
usando o método iterativo de Gauss–Jacobi, com aproximação inicial \,x^0=(0,0,0) e quatro iterações, guardando quatro casas decimais. Vamos verificar convergência e escrever as fórmulas iterativas.

Passo 2

Verificamos a convergência pelo critério da dominância diagonal: em cada linha o módulo do coeficiente diagonal deve ser maior que a soma dos módulos dos outros coeficientes.
Linha 1: \lvert10\rvert > \lvert-2\rvert + \lvert1\rvert = 3.
Linha 2: \lvert15\rvert > \lvert-3\rvert + \lvert2\rvert = 5.
Linha 3: \lvert8\rvert > \lvert2\rvert + \lvert-1\rvert = 3.
Como todas satisfazem, a iteração converge.

Passo 3

Isolando cada incógnita na sua linha, as fórmulas de Gauss–Jacobi são
x_1^{(k+1)} = \frac{9 + 2\,x_2^{(k)} - x_3^{(k)}}{10},\quad x_2^{(k+1)} = \frac{27 + 3\,x_1^{(k)} - 2\,x_3^{(k)}}{15},\quad x_3^{(k+1)} = \frac{-5 - 2\,x_1^{(k)} + x_2^{(k)}}{8}.

Passo 4

Iteração k=0\to1, com x^0=(0,0,0):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{9 + 2\cdot0 - 0}{10} = 0{,}9000,\\\ x_2^{(1)} &= \frac{27 + 3\cdot0 - 2\cdot0}{15} = 1{,}8000,\\\ x_3^{(1)} &= \frac{-5 - 2\cdot0 + 0}{8} = -0{,}6250. \end{aligned}

Passo 5

Iteração k=1\to2, com x^{(1)}=(0{,}9000,\;1{,}8000,\;-0{,}6250):
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \frac{9 + 2\cdot1{,}8000 - (-0{,}6250)}{10} = 1{,}3225,\\\ x_2^{(2)} &= \frac{27 + 3\cdot0{,}9000 - 2\cdot(-0{,}6250)}{15} = 2{,}0633,\\\ x_3^{(2)} &= \frac{-5 - 2\cdot0{,}9000 + 1{,}8000}{8} = -0{,}6250. \end{aligned}

Passo 6

Iteração k=2\to3, com x^{(2)}=(1{,}3225,\;2{,}0633,\;-0{,}6250):
\begin{aligned} x_1^{(3)} &= \frac{9 + 2\cdot2{,}0633 - (-0{,}6250)}{10} = 1{,}3752,\\\ x_2^{(3)} &= \frac{27 + 3\cdot1{,}3225 - 2\cdot(-0{,}6250)}{15} = 2{,}1478,\\\ x_3^{(3)} &= \frac{-5 - 2\cdot1{,}3225 + 2{,}0633}{8} = -0{,}6977. \end{aligned}

Passo 7

Iteração k=3\to4, com x^{(3)}=(1{,}3752,\;2{,}1478,\;-0{,}6977):
\begin{aligned} x_1^{(4)} &= \frac{9 + 2\cdot2{,}1478 - (-0{,}6977)}{10} = 1{,}3993,\\\ x_2^{(4)} &= \frac{27 + 3\cdot1{,}3752 - 2\cdot(-0{,}6977)}{15} = 2{,}1681,\\\ x_3^{(4)} &= \frac{-5 - 2\cdot1{,}3752 + 2{,}1478}{8} = -0{,}7003. \end{aligned}

Resposta

Após quatro iterações, a aproximação pelo método de Gauss–Jacobi é
x^{(4)} = \bigl(1{,}3993,\;2{,}1681,\;-0{,}7003\bigr).

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