Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}=5 \\\\ 3 x_{1}+9 x_{2}=-2 \end{array}\right.
Esse sistema satisfaz o Critério das linhas?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}=5 \\\\ 3 x_{1}+9 x_{2}=-2 \end{array}\right.
Pergunta: Esse sistema satisfaz o Critério das linhas?
Informações relevantes extraídas do enunciado: os coeficientes formam a matriz
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]3 & 9\end{pmatrix},
e o vetor termo independente é \begin{pmatrix}5\\\ -2\end{pmatrix}. A verificação do Critério das linhas depende apenas da matriz dos coeficientes A.]

Passo 2

O que é o Critério das linhas (explicação didática)?
Definição: uma matriz quadrada A=(a_{ij}) satisfaz o Critério das linhas (ou é estritamente diagonalmente dominante por linhas) se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Aqui, a_{ii} é o elemento da diagonal na linha i e |a_{ii}| é o seu valor absoluto; \sum_{j\neq i}|a_{ij}| é a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha. Intuição prática: cada elemento diagonal deve ser maior (em módulo) que a soma dos módulos dos outros elementos daquela linha — a diagonal “domina” a linha. Isso é útil para garantir convergência de métodos iterativos como Jacobi ou Gauss–Seidel, mas aqui só precisamos checar a desigualdade linha a linha.

Passo 3

Aplique a definição à primeira linha ( i=1). Os coeficientes da primeira linha são a_{11}=5 e a_{12}=1. Calcule a soma dos módulos dos elementos fora da diagonal na linha 1:
\sum_{j\neq 1}|a_{1j}| = |a_{12}| = |1| = 1.
Compare com o módulo do elemento diagonal:
|a_{11}| = |5| = 5.
Verifique a desigualdade:
5 > 1,
portanto a primeira linha satisfaz o Critério das linhas.

Passo 4

Aplique a definição à segunda linha ( i=2). Os coeficientes da segunda linha são a_{21}=3 e a_{22}=9. Calcule a soma dos módulos dos elementos fora da diagonal na linha 2:
\sum_{j\neq 2}|a_{2j}| = |a_{21}| = |3| = 3.
Compare com o módulo do elemento diagonal:
|a_{22}| = |9| = 9.
Verifique a desigualdade:
9 > 3,
portanto a segunda linha também satisfaz o Critério das linhas.

Passo 5

Conclusão técnica: como ambas as linhas satisfazem a desigualdade |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|, a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Logo, o sistema satisfaz o Critério das linhas.

Passo 6

Comentário pedagógico curto e exemplo reforçando o conceito: se tivéssemos, por exemplo, a matriz \begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, na primeira linha teríamos |2| \not> |2| (pois 2 não é maior que 2), então essa matriz não satisfaria o Critério das linhas. Assim dá pra ver a diferença entre “maior” estrito e apenas maior ou igual.]

Resposta

Sim

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