Ex.2: Considere o sistema de equações lineares.
\left\{\begin{array}{c}2 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}=-17 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=5 \\\\ -3 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\end{array}\right.
a) Reordene as equações de modo que o critério de convergência seja satisfeito. Justifique sua escolha.
b) Caso haja a convergência garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelo método iterativo de Jacobi, utilize no máximo 7 iterações ou erro menor que 0,04 com a seguinte solução inicial [0 ; 1 ;-2]. Use precisão de 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+7x_{3}=-17\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=5\\[4pt] -3x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \end{cases}
e pede:
a) Reordenar as equações de modo que o critério de convergência seja satisfeito e justificar a escolha.
b) Se houver convergência garantida, aplicar o método iterativo de Jacobi ao sistema reordenado, começando de \displaystyle \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}, com no máximo 7 iterações ou até erro menor que 0,04. Usar precisão de 4 casas decimais.
Informações relevantes dadas: os coeficientes e termos independentes do sistema original e a solução inicial \displaystyle \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}. O critério de parada pedido é erro menor que 0,04 (usarei a norma infinito da diferença entre iterados, isto é \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<0,04).]

Passo 2

Explicação didática do critério de convergência (o que vou usar para justificar a reordenação).
Para o método de Jacobi uma condição suficiente simples de convergência é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante por linhas. Isto significa, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Aqui a_{ii} é o coeficiente da variável x_i na linha i, e \sum_{j\neq i}|a_{ij}| é a soma dos módulos dos demais coeficientes nessa mesma linha. Se essa desigualdade for verdadeira para todas as linhas, então a iteração de Jacobi converge para a solução a partir de qualquer inicial (condição suficiente). Vou tentar reordenar (permutar) as equações trocando linhas para alcançar essa propriedade.

Passo 3

Verificação da dominância na ordem original e busca por reordenação.
Na ordem original as linhas têm, em módulos:
  • linha 1: |a_{11}|=|2|=2 e soma dos outros |3|+|7|=10 2>10 falso.
  • linha 2: |a_{22}|=|5|=5 e soma dos outros |2|+|1|=3 5>3 verdadeiro.
  • linha 3: |a_{33}|=|1|=1 e soma dos outros |-3|+|1|=4 1>4 falso.
    Somente a linha 2 satisfaz. Precisamos permutar linhas de modo que cada linha i tenha um coeficiente a_{ii} maior que a soma dos demais coeficientes dessa linha.
Analisando as linhas originais para ver em qual coluna cada linha é forte (ou seja, verificar onde |a_{r,c}| pode vencer a soma dos outros na mesma linha):
  • linha original 1: coeficientes (2,3,7). Aqui |7|> |2|+|3|, logo esta linha é forte se for colocada na posição onde ela contribua para a_{33} (ou seja, na terceira linha).
  • linha original 2: coeficientes (2,5,1). Aqui |5|> |2|+|1|, logo esta linha é forte se for colocada na posição que corresponda ao a_{22} (segunda linha).
  • linha original 3: coeficientes (3,1,1) em módulo, onde |3|> |1|+|1|, então esta linha é forte se colocada como primeira linha (para ser a_{11}).
Assim a permutação que dá dominância é: colocar a linha original 3 em primeiro lugar, a linha original 2 em segundo, e a linha original 1 em terceiro. Ou seja, novo sistema com as equações reordenadas será: linha 3, linha 2, linha 1.

Passo 4

Escrevo o sistema reordenado explicitamente (peguei os coeficientes das equações originais e apenas permutei as linhas conforme explicado):
\begin{cases} -3x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=5\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+7x_{3}=-17 \end{cases}
Verifico a dominância por linhas (agora diretamente):
  • linha 1: |a_{11}|=|-3|=3 e soma dos outros |1|+|1|=2, e 3>2.
  • linha 2: |a_{22}|=5 e soma dos outros |2|+|1|=3, e 5>3.
  • linha 3: |a_{33}|=7 e soma dos outros |2|+|3|=5, e 7>5.
    Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas e a convergência do método de Jacobi está garantida.]

Passo 5

Derivo as fórmulas de iteração de Jacobi para o sistema reordenado (aula rápida sobre Jacobi).
Dado o sistema reordenado A x=b, o método de Jacobi isola cada x_i na sua linha usando os valores da iteração anterior para as outras variáveis:
x_{i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right).
Aqui x^{(k)} é o vetor aproximado na iteração k e x^{(k+1)} o próximo vetor. Para o nosso sistema, isolando cada variável obtemos:
x_{1}=\frac{x_{2}+x_{3}-2}{3},\qquad x_{2}=\frac{5-2x_{1}-x_{3}}{5},\qquad x_{3}=\frac{-17-2x_{1}-3x_{2}}{7}.
Observação: para x_1 dividimos por -3 e reorganizamos os sinais, obtendo a forma apresentada (a divisão por -3 foi escrita como divisão por 3 com sinais ajustados).
Critério de parada que vou usar: pare quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<0,04 ou quando atingir 7 iterações. A norma infinito é o máximo valor absoluto entre as diferenças coordenada a coordenada.
Solução inicial (dada): \displaystyle x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Iteração 1 (usar as fórmulas com x^{(0)}).
Cálculos (manter precisão extra internamente; aqui mostro o resultado arredondado a 4 casas):
x_{1}^{(1)}=\frac{1+(-2)-2}{3}=\frac{-3}{3}=-1{,}0000,
x_{2}^{(1)}=\frac{5-2\cdot 0-(-2)}{5}=\frac{7}{5}=1{,}4000,
x_{3}^{(1)}=\frac{-17-2\cdot 0-3\cdot 1}{7}=\frac{-20}{7}=-2{,}8571.
Vetor aproximado: \displaystyle x^{(1)}=\begin{pmatrix}-1{,}0000\\[2pt]1{,}4000\\[2pt]-2{,}8571\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max(1{,}0000,0{,}4000,0{,}8571)=1{,}0000>0{,}04. Continua.]

Passo 7

Iteração 2:
Usando x^{(1)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1{,}4+(-2{,}8571428571)-2}{3}\approx -1{,}1524,
x_{2}^{(2)}=\frac{5-2(-1)-(-2{,}8571428571)}{5}=\frac{69}{35}\approx 1{,}9714,
x_{3}^{(2)}=\frac{-17-2(-1)-3(1{,}4)}{7}\approx -2{,}7429.
Vetor aproximado: \displaystyle x^{(2)}=\begin{pmatrix}-1{,}1524\\[2pt]1{,}9714\\[2pt]-2{,}7429\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}\approx\max(0{,}1524,0{,}5714,0{,}1143)=0{,}5714>0{,}04. Continua.]

Passo 8

Iteração 3:
Usando x^{(2)}:
x_{1}^{(3)}\approx -0{,}9238,\qquad x_{2}^{(3)}\approx 2{,}0095,\qquad x_{3}^{(3)}\approx -2{,}9442.
Vetor aproximado: \displaystyle x^{(3)}=\begin{pmatrix}-0{,}9238\\[2pt]2{,}0095\\[2pt]-2{,}9442\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}\approx\max(0{,}2286,0{,}0381,0{,}2014)=0{,}2286>0{,}04. Continua.]

Passo 9

Iteração 4:
Usando x^{(3)}:
x_{1}^{(4)}\approx -0{,}9782,\qquad x_{2}^{(4)}\approx 1{,}9584,\qquad x_{3}^{(4)}\approx -3{,}0259.
Vetor aproximado: \displaystyle x^{(4)}=\begin{pmatrix}-0{,}9782\\[2pt]1{,}9584\\[2pt]-3{,}0259\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}\approx\max(0{,}0544,0{,}0512,0{,}0816)=0{,}0816>0{,}04. Continua.]

Passo 10

Iteração 5:
Usando x^{(4)}:
x_{1}^{(5)}\approx -1{,}0225,\qquad x_{2}^{(5)}\approx 1{,}9965,\qquad x_{3}^{(5)}\approx -2{,}9884.
Vetor aproximado: \displaystyle x^{(5)}=\begin{pmatrix}-1{,}0225\\[2pt]1{,}9965\\[2pt]-2{,}9884\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_{\infty}\approx\max(0{,}0443,0{,}0381,0{,}0375)=0{,}0443>0{,}04. Ainda maior que 0{,}04, então continuo (ainda dentro do limite de 7 iterações).]

Passo 11

Iteração 6:
Usando x^{(5)}:
x_{1}^{(6)}\approx -0{,}9973,\qquad x_{2}^{(6)}\approx 2{,}0067,\qquad x_{3}^{(6)}\approx -2{,}9921.
Vetor aproximado: \displaystyle x^{(6)}=\begin{pmatrix}-0{,}9973\\[2pt]2{,}0067\\[2pt]-2{,}9921\end{pmatrix}.
Diferença \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_{\infty}\approx\max(0{,}0252,0{,}0102,0{,}0037)=0{,}0252<0{,}04. Portanto o critério de parada foi satisfeito na iteração 6. Parei antes de chegar a 7 iterações porque o erro ficou menor que 0{,}04.]

Resposta

a) Sistema reordenado:
\begin{cases} -3x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}=5\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+7x_{3}=-17 \end{cases} \quad\text{(justificativa: matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas, pois }3>1+1,\;5>2+1,\;7>2+3\text{).}
b) Aproximação obtida pelo método de Jacobi (parando quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<0,04):
\displaystyle x\approx\begin{pmatrix}-0{,}9973\\[2pt]2{,}0067\\[2pt]-2{,}9921\end{pmatrix}\quad\text{(obtido após 6 iterações).}óçõ]

Exercícios relacionados