Ex.3: Sendo y=f(x) dada nos pontos da tabela abaixo.
x
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
f(x)
16,30
22,21
27,34
29,15
32,10
(a) Construa um polinômio interpolador de grau 3, usando os dados da tabela, faça o polinômio com o método de Diferenças Finitas Ascendentes, utilize 4 casas decimais;
(b) Calcule o valor da função \mathrm{f}(\mathrm{x}) para x=0,43 usando as informações dadas em (a), utilize 4 casas decimais de precisão.
Passo 1
O enunciado dá valores de y=f(x) em cinco pontos e pede duas coisas:
(a) Construir um polinômio interpolador de grau 3 usando o método de Diferenças Finitas Ascendentes (forward differences), com 4 casas decimais;\n
(b) Usando o polinômio de (a), calcular f(0{,}43) com 4 casas decimais.\n
Informações relevantes listadas: os nós estão igualmente espaçados com passo h=0{,}1; temos cinco valores, mas o polinômio pedido é de grau 3 (ou seja, usaremos 4 pontos para construir o polinômio).
Passo 2
Escolha do procedimento: vou usar o método de Diferenças Finitas Ascendentes (Newton forward) partindo do nó inicial x_0=0{,}2 e usando os quatro primeiros pontos x_0,x_1,x_2,x_3 (isto é uma escolha padrão para o método forward e é suficiente para obter um polinômio de grau 3). Explico a ideia do método de forma didática:
Agora substituímos esses números na fórmula de Newton (lembre: s=(x-0{,}2)/0{,}1=10(x-0{,}2)). Escrevo a forma em termos de s e simplifico os fatores constantes (dou atenção ao que cada símbolo representa, para você poder reproduzir na prova):
Faço a expansão em potências de s (primeiro desenvolvo os produtos e depois reúno termos), e apresento os coeficientes arredondados para 4 casas decimais, conforme pedido.
com s=\dfrac{x-0{,}2}{0{,}1}=10(x-0{,}2). (Essa é a forma Newton-forward com 4 casas decimais nos coeficientes.)
Passo 6
Para conveniência, também apresento o polinômio expandido em potências de x (útil se preferir uma forma “padrão”). Substituindo s=10x-2 e expandindo, e arredondando os coeficientes para 4 casas decimais, obtemos:
Observação: por arredondamento de coeficientes, essa forma expandida resulta em pequenas diferenças de representação numérica; a forma em termos de s é a origem exata do polinômio construído pelas diferenças.
Passo 7
Cálculo de f(0{,}43) usando o polinômio de Newton (uso a forma em s, que é direta e menos sujeita a erro de expansão). Primeiro calculo s: