Ex.3: Sendo y=f(x) dada nos pontos da tabela abaixo.
x 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
f(x) 16,30 22,21 27,34 29,15 32,10
(a) Construa um polinômio interpolador de grau 3, usando os dados da tabela, faça o polinômio com o método de Diferenças Finitas Ascendentes, utilize 4 casas decimais;
(b) Calcule o valor da função \mathrm{f}(\mathrm{x}) para x=0,43 usando as informações dadas em (a), utilize 4 casas decimais de precisão.

Passo 1

O enunciado dá valores de y=f(x) em cinco pontos e pede duas coisas:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}5 & 0{,}6\\hline f(x) & 16{,}30 & 22{,}21 & 27{,}34 & 29{,}15 & 32{,}10\\hline \end{array}
(a) Construir um polinômio interpolador de grau 3 usando o método de Diferenças Finitas Ascendentes (forward differences), com 4 casas decimais;\n
(b) Usando o polinômio de (a), calcular f(0{,}43) com 4 casas decimais.\n
Informações relevantes listadas: os nós estão igualmente espaçados com passo h=0{,}1; temos cinco valores, mas o polinômio pedido é de grau 3 (ou seja, usaremos 4 pontos para construir o polinômio).

Passo 2

Escolha do procedimento: vou usar o método de Diferenças Finitas Ascendentes (Newton forward) partindo do nó inicial x_0=0{,}2 e usando os quatro primeiros pontos x_0,x_1,x_2,x_3 (isto é uma escolha padrão para o método forward e é suficiente para obter um polinômio de grau 3). Explico a ideia do método de forma didática:
\text{defina }h=x_{i+1}-x_i=0{,}1,\qquad s=\frac{x-x_0}{h}.
A fórmula de Newton para o polinômio interpolador de grau 3 (forma forward) é
\displaystyle P_3(x)=f_0+s\,\Delta f_0+\frac{s(s-1)}{2!}\,\Delta^2 f_0+\frac{s(s-1)(s-2)}{3!}\,\Delta^3 f_0.
Aqui: f_0=f(x_0), \Delta f_0=f_1-f_0, \Delta^2 f_0=\Delta f_1-\Delta f_0, \Delta^3 f_0=\Delta^2 f_1-\Delta^2 f_0. Vou construir as diferenças passo a passo.

Passo 3

Construção da tabela de diferenças usando os quatro primeiros pontos x_0=0{,}2,\;x_1=0{,}3,\;x_2=0{,}4,\;x_3=0{,}5.
Dados:
f_0=f(0{,}2)=16{,}30,\quad f_1=f(0{,}3)=22{,}21,\quad f_2=f(0{,}4)=27{,}34,\quad f_3=f(0{,}5)=29{,}15.
Cálculo das primeiras diferenças:
\Delta f_0=f_1-f_0=22{,}21-16{,}30=5{,}91,
\Delta f_1=f_2-f_1=27{,}34-22{,}21=5{,}13,
\Delta f_2=f_3-f_2=29{,}15-27{,}34=1{,}81.
Segundas diferenças:
\Delta^2 f_0=\Delta f_1-\Delta f_0=5{,}13-5{,}91=-0{,}78,
\Delta^2 f_1=\Delta f_2-\Delta f_1=1{,}81-5{,}13=-3{,}32.
Terceira diferença:
\Delta^3 f_0=\Delta^2 f_1-\Delta^2 f_0=-3{,}32-(-0{,}78)=-2{,}54.
Resumo (valores que usaremos):
f_0=16{,}30,\quad \Delta f_0=5{,}91,\quad \Delta^2 f_0=-0{,}78,\quad \Delta^3 f_0=-2{,}54.

Passo 4

Agora substituímos esses números na fórmula de Newton (lembre: s=(x-0{,}2)/0{,}1=10(x-0{,}2)). Escrevo a forma em termos de s e simplifico os fatores constantes (dou atenção ao que cada símbolo representa, para você poder reproduzir na prova):
P_3(x)=f_0+s\,\Delta f_0+\frac{s(s-1)}{2}\,\Delta^2 f_0+\frac{s(s-1)(s-2)}{6}\,\Delta^3 f_0.
Substituindo os números:
P_3(x)=16{,}30 + s\cdot 5{,}91 + \frac{s(s-1)}{2}\cdot(-0{,}78) + \frac{s(s-1)(s-2)}{6}\cdot(-2{,}54).

Passo 5

Faço a expansão em potências de s (primeiro desenvolvo os produtos e depois reúno termos), e apresento os coeficientes arredondados para 4 casas decimais, conforme pedido.
Calculemos cada termo em forma expandida:
s\cdot 5{,}91 = 5{,}91\,s.
\frac{s(s-1)}{2}\cdot(-0{,}78) = -0{,}39\,(s^2-s) = -0{,}39\,s^2 + 0{,}39\,s.
\frac{s(s-1)(s-2)}{6}\cdot(-2{,}54) = -0{,}423333\ldots\,(s^3-3s^2+2s).
Somando tudo:
P_3(x)=16{,}30 + \underbrace{(5{,}91+0{,}39-0{,}846666\ldots)}_{=5{,}453333\ldots}s \;+\; \underbrace{(-0{,}39+1{,}27)}_{=0{,}88}\,s^2 \;+\; \underbrace{(-0{,}423333\ldots)}_{=-\tfrac{127}{300}}\,s^3.
Arredondando os coeficientes para 4 casas decimais:
\boxed{P_3(x)=16{,}3000 \;+\; 5{,}4533\,s \;+\; 0{,}8800\,s^2 \;-\; 0{,}4233\,s^3,}
com s=\dfrac{x-0{,}2}{0{,}1}=10(x-0{,}2). (Essa é a forma Newton-forward com 4 casas decimais nos coeficientes.)

Passo 6

Para conveniência, também apresento o polinômio expandido em potências de x (útil se preferir uma forma “padrão”). Substituindo s=10x-2 e expandindo, e arredondando os coeficientes para 4 casas decimais, obtemos:
\boxed{P_3(x)=-423{,}3333\,x^3 +342{,}0000\,x^2 -31{,}4667\,x +12{,}3000.}
Observação: por arredondamento de coeficientes, essa forma expandida resulta em pequenas diferenças de representação numérica; a forma em termos de s é a origem exata do polinômio construído pelas diferenças.

Passo 7

Cálculo de f(0{,}43) usando o polinômio de Newton (uso a forma em s, que é direta e menos sujeita a erro de expansão). Primeiro calculo s:
s=\frac{0{,}43-0{,}2}{0{,}1}=2{,}3.
Agora avalio cada parcela da fórmula:
\text{(i) } f_0=16{,}30.
\text{(ii) } s\,\Delta f_0 = 2{,}3\cdot 5{,}91 = 13{,}593.
\text{(iii) } \frac{s(s-1)}{2}\,\Delta^2 f_0 = \frac{2{,}3\cdot1{,}3}{2}\cdot(-0{,}78) =1{,}495\cdot(-0{,}78)=-1{,}1661.
\text{(iv) } \frac{s(s-1)(s-2)}{6}\,\Delta^3 f_0 =\frac{2{,}3\cdot1{,}3\cdot0{,}3}{6}\cdot(-2{,}54) =0{,}1495\cdot(-2{,}54)=-0{,}3797\\ (\text{aprox.}).
Somando as parcelas:
P_3(0{,}43)=16{,}30+13{,}593-1{,}1661-0{,}3797=28{,}3472\\ (\text{arredondado a 4 casas decimais}).

Resposta

P_3(x)=16{,}3000 + 5{,}4533\,s + 0{,}8800\,s^2 - 0{,}4233\,s^3, com s=\dfrac{x-0{,}2}{0{,}1}=10(x-0{,}2).\n
f(0{,}43)\approx 28{,}3472.

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