1. Considere o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{c} x+y+z=8 \\\\ 2 x+4 y+3 z=a \\\\ 3 x+7 y+8 z=25 \\\\ 4 x+6 y+5 z=36 \end{array}\right.
Determine o valor de a para que o sistema tenha solução. Obtido o valor de a, obtenha esta solução.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com quatro equações e três incógnitas, o que é um sistema sobredeterminado. Para que haja solução, o vetor de termos independentes deve estar no espaço gerado pelas colunas da matriz de coeficientes. Vamos usar eliminação por substituição: primeiro resolver as três primeiras equações para expressar x,y,z em função de a e depois impor que essa solução satisfaça a quarta equação, determinando a.

Passo 2

Da primeira equação
x + y + z = 8
isolamos
x = 8 - y - z.
Substituindo em
2x + 4y + 3z = a
temos
2(8-y-z) + 4y + 3z = a \;\Longrightarrow\; 2y + z = a - 16,
e em
3x + 7y + 8z = 25
obtemos
3(8-y-z) + 7y + 8z = 25 \;\Longrightarrow\; 4y + 5z = 1.
Ficamos, pois, com o sistema de duas equações em y,z:
\begin{cases} 2y + z = a - 16,\\\\ 4y + 5z = 1. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação do sistema acima vem
z = a - 16 - 2y.
Substituindo em 4y+5z=1:
4y + 5(a - 16 - 2y) = 1 \;\Longrightarrow\; -6y + 5a - 80 = 1 \;\Longrightarrow\; y = \frac{5a - 81}{6}.
Então
z = a - 16 - 2\frac{5a - 81}{6} = \frac{-4a + 66}{6} = \frac{-2a + 33}{3}.
E finalmente
x = 8 - y - z = 8 - \frac{5a - 81}{6} - \frac{-2a + 33}{3} = \frac{63 - a}{6}.
Logo, em função de a, a solução dos três primeiros é
x = \frac{63 - a}{6},\quad y = \frac{5a - 81}{6},\quad z = \frac{-2a + 33}{3}.

Passo 4

Para que o sistema completo seja consistente, essa solução deve satisfazer a quarta equação
4x + 6y + 5z = 36.
Substituindo as expressões acima:
4\frac{63 - a}{6} +6\frac{5a - 81}{6} +5\frac{-2a + 33}{3} =36 \;\Longrightarrow\; a = 20.
Com a=20, as incógnitas ficam
x = \frac{63 - 20}{6} = \frac{43}{6},\quad y = \frac{5\cdot20 - 81}{6} = \frac{19}{6},\quad z = \frac{-2\cdot20 + 33}{3} = -\frac{7}{3}.

Resposta

a = 20, com solução
x = \frac{43}{6},\quad y = \frac{19}{6},\quad z = -\frac{7}{3}.

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