1. O movimento de um corpo de massa m=0.6 \mathrm{~kg} foi observado, tendo-se anotado as velocidades v deste corpo em instantes de tempo específicos t.
tempo (em segundos) 0,2 0,5 0,7
velocidade (em metros por segundo) 1,0 1,5 2,0
Deseja-se obter a energia cinética E_{c}, em Joules ( J ), deste corpo no instante de tempo t=1,6 \mathrm{~s}, onde se sabe que E_{c}=\frac{1}{2} m v^{2}. Obtenha o que se pede, utilizando uma interpolação quadrática com os dados da tabela para estimar a velocidade do corpo no exato instante de tempo em questão. Utilize a fórmula de interpolação que desejar.

Passo 1

Temos três pares (t_i,v_i):
(t_0,v_0)=(0{,}2,1{,}0),\quad (t_1,v_1)=(0{,}5,1{,}5),\quad (t_2,v_2)=(0{,}7,2{,}0)
e queremos estimar v em t=1{,}6 usando interpolação quadrática. Depois usaremos
E_{c}=\tfrac12\,m\,v^2
com m=0,6\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Usamos a forma de Lagrange para construir o polinômio
p(t)=\sum_{j=0}^{2}v_j\,\ell_j(t),
onde
\ell_j(t)=\prod_{\substack{0\le k\le2\k\neq j}}\frac{t-t_k}{t_j-t_k}.

Passo 3

Calculamos \ell_0(1{,}6), \ell_1(1{,}6), \ell_2(1{,}6):
\ell_0(1{,}6) =\frac{(1{,}6-0{,}5)(1{,}6-0{,}7)}{(0{,}2-0{,}5)(0{,}2-0{,}7)} =\frac{1{,}1\cdot0{,}9}{(-0{,}3)\cdot(-0{,}5)} =\frac{0{,}99}{0{,}15}=6{,}6,
\ell_1(1{,}6) =\frac{(1{,}6-0{,}2)(1{,}6-0{,}7)}{(0{,}5-0{,}2)(0{,}5-0{,}7)} =\frac{1{,}4\cdot0{,}9}{0{,}3\cdot(-0{,}2)} =\frac{1{,}26}{-0{,}06}=-21,
\ell_2(1{,}6) =\frac{(1{,}6-0{,}2)(1{,}6-0{,}5)}{(0{,}7-0{,}2)(0{,}7-0{,}5)} =\frac{1{,}4\cdot1{,}1}{0{,}5\cdot0{,}2} =\frac{1{,}54}{0{,}1}=15{,}4.

Passo 4

Agora a estimativa de v(1{,}6) é
v(1{,}6)=p(1{,}6) =v_0\,\ell_0(1{,}6)+v_1\,\ell_1(1{,}6)+v_2\,\ell_2(1{,}6) =1{,}0\cdot6{,}6+1{,}5\cdot(-21)+2{,}0\cdot15{,}4 =5{,}9\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Finalmente, calculamos a energia cinética em t=1{,}6:
E_{c}=\tfrac12\,m\,v^2 =\tfrac12\cdot0{,}6\cdot(5{,}9)^2 =0{,}3\cdot34{,}81 \approx10{,}44\\ \mathrm{J}.

Resposta

A energia cinética estimada em t=1{,}6\\ \mathrm{s} é aproximadamente 10{,}44\\ \mathrm{J}.

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