1. O método de Eliminação de Gauss é muito útil quando se necessita calcular o determinante de uma matriz. Sabe-se da Álgebra Linear que o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos seus elementos diagonais. Utilize eliminação de Gauss para triangularizar a matriz dada a fim de se calcular seu determinante.
\left|\begin{array}{rrrr} 1,2 & 0,5 & -0,3 & 2,1 \\\\ 0,8 & 1,7 & 0,4 & -0,6 \\\\ 2,3 & -0,1 & 1,6 & 0,8 \\\\ 1,5 & 0,9 & -0,7 & 1,2 \end{array}\right|
Trabalhe com quatro dígitos significativos após a vírgula e arredondamento padrão.

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1,2 & 0,5 & -0,3 & 2,1\\\\ 0,8 & 1,7 & 0,4 & -0,6\\\\ 2,3 & -0,1 & 1,6 & 0,8\\\\ 1,5 & 0,9 & -0,7 & 1,2 \end{pmatrix}
usando eliminação de Gauss até deixá-la triangular. Sabemos que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal e que operações do tipo “linha i\leftarrow linha i – (fator)·linha j” não alteram o determinante. Trabalhamos com quatro dígitos após a vírgula.

Passo 2

Eliminamos abaixo de a_{11}=1,2. Para cada linha i=2,3,4 calculamos
f_{i1}=\frac{a_{i1}}{a_{11}}
e fazemos L_i\leftarrow L_i - f_{i1}\,L_1. Os fatores e as novas linhas são:
f_{21}=0,8/1,2=0,6667,
L_2\leftarrow (0,8,\,1,7,\,0,4,\,-0,6) - 0,6667\,(1,2,\,0,5,\,-0,3,\,2,1) =(0,\,1,3667,\,0,6000,\,-2,0001).
f_{31}=2,3/1,2=1,9167,
L_3\leftarrow (2,3,-0,1,1,6,0,8) - 1,9167\,(1,2,0,5,-0,3,2,1) =(0,\,-1,0584,\,2,1750,\,-3,2251).
f_{41}=1,5/1,2=1,2500,
L_4\leftarrow (1,5,0,9,-0,7,1,2) - 1,2500\,(1,2,0,5,-0,3,2,1) =(0,\,0,2750,\,-0,3250,\,-1,4250).

Passo 3

Agora pivot em a_{22}=1,3667. Para i=3,4
f_{32}=\frac{-1,0584}{1,3667}=-0,7744, \quad f_{42}=\frac{0,2750}{1,3667}=0,2012.
Fazemos L_i\leftarrow L_i - f_{i2}\,L_2:
L_3: (0,-1,0584,2,1750,-3,2251) -(-0,7744)\,(0,1,3667,0,6000,-2,0001) =(0,0,\,2,6396,\,-4,7740).
L_4: (0,0,2750,-0,3250,-1,4250) -(0,2012)\,(0,1,3667,0,6000,-2,0001) =(0,0,\, -0,4457,\,-1,0225).

Passo 4

Pivot em a_{33}=2,6396. Para i=4
f_{43}=\frac{-0,4457}{2,6396}=-0,1689,
L_4\leftarrow (0,0,-0,4457,-1,0225) -(-0,1689)\,(0,0,2,6396,-4,7740) =(0,0,0,\,-1,8289).
Agora a matriz está triangular superior:
\begin{pmatrix} 1,2 & * & * & *\\\\ 0 & 1,3667 & * & *\\\\ 0 & 0 & 2,6396 & *\\\\ 0 & 0 & 0 & -1,8289 \end{pmatrix}.

Passo 5

O determinante é o produto dos pivôs:
\det(A)=1,2 \times 1,3667 \times 2,6396 \times (-1,8289).
Calculando passo a passo e arredondando:
1,2\cdot1,3667=1,6400,\quad 1,6400\cdot2,6396=4,3289,\quad 4,3289\cdot(-1,8289)=-7,9171.

Resposta

-7,9171

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