Considere o sistema
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}=5 \\\\ 3 x_{1}+9 x_{2}=-2 \end{array}\right.
resolva pelo mét odo de Gauss-Seidel com X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0\end{array}\right] e \varepsilon=0,05.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
Temos o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}=5 \\\\ 3 x_{1}+9 x_{2}=-2 \end{array}\right.
o método a ser usado é o método de Gauss–Seidel, o vetor inicial é
X^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\end{bmatrix}
e a tolerância pedida é \varepsilon=0,05.
A tarefa é aplicar Gauss–Seidel até que a norma (diferença entre iterações sucessivas) fique menor que \varepsilon e fornecer a solução aproximada obtida.]

Passo 2

Isolamento das incógnitas (passo obrigatório para implementar iterações): a partir das equações obtemos expressões para x_{1} e x_{2} isoladas:
5x_{1}+x_{2}=5 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{5-x_{2}}{5}=1-\frac{x_{2}}{5},
3x_{1}+9x_{2}=-2 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{-2-3x_{1}}{9}.
Estas fórmulas são as que vamos usar nas iterações.

Passo 3

Explicando o método de Gauss–Seidel (aula rápida e concreta):
  • Em cada iteração k calculamos primeiro x_{1}^{(k+1)} usando a fórmula de x_{1} e os valores mais recentes disponíveis.
  • Em seguida calculamos x_{2}^{(k+1)} usando a fórmula de x_{2} e já usando o valor atualizado x_{1}^{(k+1)}.
    Esse uso imediato dos valores atualizados (ao contrário do método de Jacobi) normalmente acelera a convergência. As fórmulas iterativas ficam:
x_{1}^{(k+1)}=1-\frac{x_{2}^{(k)}}{5}, \qquad x_{2}^{(k+1)}=\frac{-2-3x_{1}^{(k+1)}}{9}.

Passo 4

Convergência (por que podemos esperar que funcione aqui):
Uma condição simples que garante convergência de Gauss–Seidel é a dominância diagonal das linhas da matriz. A matriz do sistema é
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[2pt]3 & 9\end{pmatrix}.
Verificamos linha a linha:
|a_{11}|=5>1=|a_{12}|,\qquad |a_{22}|=9>3=|a_{21}|.
Como cada linha tem elemento diagonal estritamente maior que a soma dos demais elementos em módulo, a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas e, portanto, Gauss–Seidel converge.]

Passo 5

Critério de parada e norma usada:
Adotamos o critério usual de iteração: parar quando
\|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon,
onde \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|. Aqui \varepsilon=0,05. Vamos calcular as iteradas até que a máxima diferença absoluta entre componentes sucessivas seja menor que 0,05.

Passo 6

Iteração k=0\to 1: usando X^{(0)}=[0;0].
x_{1}^{(1)}=1-\frac{x_{2}^{(0)}}{5}=1-\frac{0}{5}=1.
x_{2}^{(1)}=\frac{-2-3x_{1}^{(1)}}{9}=\frac{-2-3\cdot 1}{9}=\frac{-5}{9}\approx -0,5555556.
Logo
X^{(1)}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]-\dfrac{5}{9}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}1\\[2pt]-0,5556\end{bmatrix}.
Diferença para a iteração anterior:
\|X^{(1)}-X^{(0)}\|_{\infty}=\max\{ |1-0|,\;|{-5/9}-0|\}=1>0,05,
ainda não para.]

Passo 7

Iteração k=1\to 2:
x_{1}^{(2)}=1-\frac{x_{2}^{(1)}}{5}=1-\frac{-5/9}{5}=1+\frac{5}{45}=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}\approx 1,1111111.
x_{2}^{(2)}=\frac{-2-3x_{1}^{(2)}}{9}=\frac{-2-3\cdot(10/9)}{9}=\frac{-2-\tfrac{30}{9}}{9}=\frac{-48/9}{9}=\frac{-16}{27}\approx -0,5925926.
Portanto
X^{(2)}=\begin{bmatrix}\tfrac{10}{9}\\[2pt]-\tfrac{16}{27}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}1,1111\\[2pt]-0,5926\end{bmatrix}.
Diferença com a iteração anterior:
\|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty}=\max\{ |10/9-1|,\;|{-16/27}-(-5/9)|\}.
Calculando exatamente: |10/9-1|=1/9\approx 0,1111111 e |-16/27+5/9|=|-16/27+15/27|=1/27\approx 0,037037. Logo a norma é 1/9\approx 0,1111>0,05. Ainda continua.]

Passo 8

Iteração k=2\to 3:
x_{1}^{(3)}=1-\frac{x_{2}^{(2)}}{5}=1-\frac{-16/27}{5}=1+\frac{16}{135}=\frac{135+16}{135}=\frac{151}{135}\approx 1,1185185.
x_{2}^{(3)}=\frac{-2-3x_{1}^{(3)}}{9}=\frac{-2-3\cdot(151/135)}{9} =\frac{-2-\tfrac{453}{135}}{9} =\frac{-\tfrac{270}{135}-\tfrac{453}{135}}{9} =\frac{-\tfrac{723}{135}}{9} =-\frac{241}{405}\approx -0,5950617.
Então
X^{(3)}=\begin{bmatrix}\tfrac{151}{135}\\[2pt]-\tfrac{241}{405}\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}1,1185\\[2pt]-0,5951\end{bmatrix}.
Diferença com a iteração anterior:
\|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}=\max\left\{ \left|\frac{151}{135}-\frac{10}{9}\right|,\;\left|-\frac{241}{405}-\left(-\frac{16}{27}\right)\right|\right\}.
Calculando exatamente: \frac{10}{9}=\frac{150}{135} então \left|\frac{151}{135}-\frac{150}{135}\right|=\frac{1}{135}\approx 0,0074074. E -\frac{16}{27}=-\frac{240}{405} então \left|-\frac{241}{405}+ \frac{240}{405}\right|=\frac{1}{405}\approx 0,0024691. Portanto
\|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}=\frac{1}{135}\approx 0,0074074<0,05.
Como a norma ficou menor que \varepsilon, paramos aqui. A iteração k=3 satisfaz o critério de parada.]

Passo 9

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): podemos também resolver o sistema diretamente para comparar. Substituindo x_{1}=1-\frac{x_{2}}{5} em 3x_{1}+9x_{2}=-2 dá a solução exata
x_{2}=-\frac{25}{42}\approx -0,5952381,\qquad x_{1}=\frac{47}{42}\approx 1,1190476.
A nossa aproximação em X^{(3)} está bem próxima da solução exata (diferença por volta de 5\times 10^{-4} em cada componente), o que confirma que a iteração convergiu corretamente e rapidamente.

Resposta

X^{(3)}\approx\begin{bmatrix}1,1185\\[2pt]-0,5951\end{bmatrix}]

Exercícios relacionados