o método a ser usado é o método de Gauss–Seidel, o vetor inicial é
X^{(0)}=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\end{bmatrix}
e a tolerância pedida é \varepsilon=0,05.
A tarefa é aplicar Gauss–Seidel até que a norma (diferença entre iterações sucessivas) fique menor que \varepsilon e fornecer a solução aproximada obtida.]
Passo 2
Isolamento das incógnitas (passo obrigatório para implementar iterações): a partir das equações obtemos expressões para x_{1} e x_{2} isoladas:
Estas fórmulas são as que vamos usar nas iterações.
Passo 3
Explicando o método de Gauss–Seidel (aula rápida e concreta):
Em cada iteração k calculamos primeiro x_{1}^{(k+1)} usando a fórmula de x_{1} e os valores mais recentes disponíveis.
Em seguida calculamos x_{2}^{(k+1)} usando a fórmula de x_{2} e já usando o valor atualizado x_{1}^{(k+1)}.
Esse uso imediato dos valores atualizados (ao contrário do método de Jacobi) normalmente acelera a convergência. As fórmulas iterativas ficam:
Convergência (por que podemos esperar que funcione aqui):
Uma condição simples que garante convergência de Gauss–Seidel é a dominância diagonal das linhas da matriz. A matriz do sistema é
Como cada linha tem elemento diagonal estritamente maior que a soma dos demais elementos em módulo, a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas e, portanto, Gauss–Seidel converge.]
Passo 5
Critério de parada e norma usada:
Adotamos o critério usual de iteração: parar quando
\|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon,
onde \|v\|_{\infty}=\max_i |v_i|. Aqui \varepsilon=0,05. Vamos calcular as iteradas até que a máxima diferença absoluta entre componentes sucessivas seja menor que 0,05.
Calculando exatamente: |10/9-1|=1/9\approx 0,1111111 e |-16/27+5/9|=|-16/27+15/27|=1/27\approx 0,037037. Logo a norma é 1/9\approx 0,1111>0,05. Ainda continua.]
Calculando exatamente: \frac{10}{9}=\frac{150}{135} então \left|\frac{151}{135}-\frac{150}{135}\right|=\frac{1}{135}\approx 0,0074074. E -\frac{16}{27}=-\frac{240}{405} então \left|-\frac{241}{405}+ \frac{240}{405}\right|=\frac{1}{405}\approx 0,0024691. Portanto
Como a norma ficou menor que \varepsilon, paramos aqui. A iteração k=3 satisfaz o critério de parada.]
Passo 9
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): podemos também resolver o sistema diretamente para comparar. Substituindo x_{1}=1-\frac{x_{2}}{5} em 3x_{1}+9x_{2}=-2 dá a solução exata
A nossa aproximação em X^{(3)} está bem próxima da solução exata (diferença por volta de 5\times 10^{-4} em cada componente), o que confirma que a iteração convergiu corretamente e rapidamente.