Considere o sistema linear abaixo:
\left\{\begin{array}{ccc} 10 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3} & = & 57 \\\\ 2 x_{1}+8 x_{2}-x_{3} & = & 20 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3} & = & -4 \end{array}\right.
a) Este sistema tem condição suficiente para convergência dos métodos iterativos para solução de sistema linear? Justifique/Mostre. Sim.
b) Quais são as equações de iterações para o método de Jacobi?
c) Encontre as duas primeiras aproximações utilizando o método de Jacobi para o vetor solução x, considerando x_{i}^{0}=\frac{b_{i}}{a_{i i}}. Essas duas iterações seriam suficientes se considerarmos um critério de parada \frac{\left\|x^{k}-x^{k-1}\right\|_{\infty}}{\left\|x^{k}\right\|_{\infty}} \leq 0,05 ? Se sim, qual é a solução aproximada para o sistema?
x^{1}=\left[\begin{array}{lll}4,79 & 0,975 & -2,44\end{array}\right]^{T} e x^{2}=\left[\begin{array}{lll}4,9195 & 0,9975 & -1,953\end{array}\right]^{T}. Não atinge o critério de parada.
d) Quais são as equações de iterações para o método de Gauss-Seidel?
e) Encontre as duas primeiras aproximações utilizando o método de Gauss-Seidel para o vetor solução x , considerando x_{i}^{0}=\frac{b_{i}}{a_{i i}}. Essas duas iterações seriam suficientes se considerarmos um
critério de parada \frac{\left\|x^{k}-x^{k-1}\right\|_{\infty}}{\left\|x^{k}\right\|_{\infty}} \leq 0,05 ? Se sim, qual é a solução aproximada para o sistema?

Passo 1

O enunciado pede para resolver um sistema linear
\begin{cases} 10x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=57,\\\\ 2x_{1}+8x_{2}-x_{3}=20,\\\ x_{1}+x_{2}+5x_{3}=-4, \end{cases}
usando os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel.
O conteúdo envolve:
– Verificar condição de convergência (dominância diagonal).
– Escrever as fórmulas de iteração de Jacobi e de Gauss–Seidel.
– Calcular as duas primeiras aproximações a partir de \,x_{i}^{(0)}=b_{i}/a_{ii}\,
– Avaliar o critério de parada \displaystyle\frac{\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}}{\|x^{(k)}\|_{\infty}}\le0,05.

Passo 2

Para existirem garantias de convergência dos métodos iterativos basta que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja, em cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos dessa linha:
linha 1: \,|10|>|3|+|{-2}|=5,
linha 2: \,|8|>|2|+|{-1}|=3,
linha 3: \,|5|>|1|+|1|=2.
Logo, a matriz é diagonal dominante e ambos os métodos convergem.

Passo 3

As fórmulas de iteração de Jacobi são obtidas isolando cada incógnita em sua equação e usando somente valores da iteração anterior:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(57-3\,x_{2}^{(k)}+2\,x_{3}^{(k)}\bigr)
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{8}\bigl(20-2\,x_{1}^{(k)}+1\,x_{3}^{(k)}\bigr)
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(-4 -1\,x_{1}^{(k)}-1\,x_{2}^{(k)}\bigr)

Passo 4

Aplicando Jacobi com x^{(0)}=(57/10,\,20/8,\,-4/5)=(5,7,\;2,5,\;-0,8):
x^{(1)}=\begin{pmatrix} 4,79\\\\ 0,975\\\\ -2,44 \end{pmatrix},\quad x^{(2)}=\begin{pmatrix} 4,9195\\\\ 0,9975\\\\ -1,953 \end{pmatrix}.
A diferença máxima em norma \infty no passo 2 é \displaystyle\max|x^{(2)}-x^{(1)}|=0,487
e \max|x^{(2)}|=4,9195, logo \,0,487/4,9195\approx0,099>0,05.
Não atende ao critério de parada.

Passo 5

As fórmulas de iteração de Gauss–Seidel usam valores já atualizados assim que são calculados:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(57-3\,x_{2}^{(k)}+2\,x_{3}^{(k)}\bigr)
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{8}\bigl(20-2\,x_{1}^{(k+1)}+1\,x_{3}^{(k)}\bigr)
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(-4 -1\,x_{1}^{(k+1)}-1\,x_{2}^{(k+1)}\bigr)

Passo 6

Com x^{(0)}=(5,7,\;2,5,\;-0,8) e Gauss–Seidel obtemos:
x^{(1)}=\begin{pmatrix} 4,79\\\\ 1,2025\\\\ -1,9985 \end{pmatrix},\quad x^{(2)}=\begin{pmatrix} 4,9396\\\\ 1,0153\\\\ -1,9910 \end{pmatrix}.
Aqui \max|x^{(2)}-x^{(1)}|=0,1872 e \max|x^{(2)}|=4,9396, de modo que \,0,1872/4,9396\approx0,0379<0,05.
O critério é satisfeito no segundo passo, com solução aproximada \displaystyle x\approx(4,9396,\;1,0153,\;-1,9910)^{T}.

Resposta

a) Sim, pois a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas.
b)
x_{1}^{(k+1)}=\tfrac{1}{10}\bigl(57-3x_{2}^{(k)}+2x_{3}^{(k)}\bigr),\quad x_{2}^{(k+1)}=\tfrac{1}{8}\bigl(20-2x_{1}^{(k)}+x_{3}^{(k)}\bigr),\quad x_{3}^{(k+1)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-4 -x_{1}^{(k)}-x_{2}^{(k)}\bigr).
c) x^{(1)}=(4,79,\;0,975,\;-2,44)^{T},\;x^{(2)}=(4,9195,\;0,9975,\;-1,953)^{T}.
Não atinge o critério \bigl(\approx0,099>0,05\bigr).
d)
x_{1}^{(k+1)}=\tfrac{1}{10}\bigl(57-3x_{2}^{(k)}+2x_{3}^{(k)}\bigr),\quad x_{2}^{(k+1)}=\tfrac{1}{8}\bigl(20-2x_{1}^{(k+1)}+x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-4 -x_{1}^{(k+1)}-x_{2}^{(k+1)}\bigr).
e) x^{(1)}=(4,79,\;1,2025,\;-1,9985)^{T},\;x^{(2)}=(4,9396,\;1,0153,\;-1,9910)^{T}.
Atende ao critério \bigl(\approx0,0379<0,05\bigr), solução aproximada \displaystyle x\approx(4,9396,\;1,0153,\;-1,9910)^{T}.

Exercícios relacionados