a) Este sistema tem condição suficiente para convergência dos métodos iterativos para solução de sistema linear? Justifique/Mostre. Sim.
b) Quais são as equações de iterações para o método de Jacobi?
c) Encontre as duas primeiras aproximações utilizando o método de Jacobi para o vetor solução x, considerando x_{i}^{0}=\frac{b_{i}}{a_{i i}}. Essas duas iterações seriam suficientes se considerarmos um critério de parada \frac{\left\|x^{k}-x^{k-1}\right\|_{\infty}}{\left\|x^{k}\right\|_{\infty}} \leq 0,05 ? Se sim, qual é a solução aproximada para o sistema? x^{1}=\left[\begin{array}{lll}4,79 & 0,975 & -2,44\end{array}\right]^{T} e x^{2}=\left[\begin{array}{lll}4,9195 & 0,9975 & -1,953\end{array}\right]^{T}. Não atinge o critério de parada.
d) Quais são as equações de iterações para o método de Gauss-Seidel?
e) Encontre as duas primeiras aproximações utilizando o método de Gauss-Seidel para o vetor solução x , considerando x_{i}^{0}=\frac{b_{i}}{a_{i i}}. Essas duas iterações seriam suficientes se considerarmos um
critério de parada \frac{\left\|x^{k}-x^{k-1}\right\|_{\infty}}{\left\|x^{k}\right\|_{\infty}} \leq 0,05 ? Se sim, qual é a solução aproximada para o sistema?
usando os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel.
O conteúdo envolve:
– Verificar condição de convergência (dominância diagonal).
– Escrever as fórmulas de iteração de Jacobi e de Gauss–Seidel.
– Calcular as duas primeiras aproximações a partir de \,x_{i}^{(0)}=b_{i}/a_{ii}\,
– Avaliar o critério de parada \displaystyle\frac{\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}}{\|x^{(k)}\|_{\infty}}\le0,05.
Passo 2
Para existirem garantias de convergência dos métodos iterativos basta que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja, em cada linha o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos dessa linha:
linha 1: \,|10|>|3|+|{-2}|=5,
linha 2: \,|8|>|2|+|{-1}|=3,
linha 3: \,|5|>|1|+|1|=2.
Logo, a matriz é diagonal dominante e ambos os métodos convergem.
Passo 3
As fórmulas de iteração de Jacobi são obtidas isolando cada incógnita em sua equação e usando somente valores da iteração anterior:
A diferença máxima em norma \infty no passo 2 é \displaystyle\max|x^{(2)}-x^{(1)}|=0,487
e \max|x^{(2)}|=4,9195, logo \,0,487/4,9195\approx0,099>0,05.
Não atende ao critério de parada.
Passo 5
As fórmulas de iteração de Gauss–Seidel usam valores já atualizados assim que são calculados:
Aqui \max|x^{(2)}-x^{(1)}|=0,1872 e \max|x^{(2)}|=4,9396, de modo que \,0,1872/4,9396\approx0,0379<0,05.
O critério é satisfeito no segundo passo, com solução aproximada \displaystyle x\approx(4,9396,\;1,0153,\;-1,9910)^{T}.
Resposta
a) Sim, pois a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas.
b)