Demonstre as seguintes propriedades das transformadas de Fourier:
\mathcal{F}\left{f\left(t \pm t_{0}\right)\right}=e^{-j \omega t_{0}} \mathcal{F}{f(t)}=e^{-j \omega t_{0}} F(\omega)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Fourier. Vamos usar como ponto de partida a definição
\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t

Passo 2

Calculemos a transformada de f(t-t_{0}). Pela definição,
\mathcal{F}\{f(t-t_{0})\} =\int_{-\infty}^{\infty}f(t-t_{0})\,e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t.
Fazendo a mudança de variável u = t - t_{0}, então t = u + t_{0} e \mathrm{d}t = \mathrm{d}u. Os limites continuam de -\infty a +\infty, logo
\mathcal{F}\{f(t-t_{0})\} =\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\,e^{-j\omega\,(u+t_{0})}\,\mathrm{d}u =e^{-j\omega t_{0}}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\,e^{-j\omega u}\,\mathrm{d}u =e^{-j\omega t_{0}}F(\omega).

Passo 3

Para f(t+t_{0}) note que f(t+t_{0})=f\bigl(t-(-t_{0})\bigr). Aplicando a mesma propriedade de deslocamento com t_{0}\to -t_{0} vem
\mathcal{F}\{f(t+t_{0})\} =e^{-j\omega(-t_{0})}F(\omega) =e^{\,j\omega t_{0}}F(\omega).

Resposta

\displaystyle\mathcal{F}\{\,f(t - t_{0})\} = e^{-j\omega t_{0}}\,F(\omega) \displaystyle\mathcal{F}\{\,f(t + t_{0})\} = e^{\,j\omega t_{0}}\,F(\omega)

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