Demonstre as seguintes propriedades das transformadas de Fourier:
\mathcal{F}\left{f\left(t \pm t_{0}\right)\right}=e^{-j \omega t_{0}} \mathcal{F}{f(t)}=e^{-j \omega t_{0}} F(\omega)
\mathcal{F}\left{f\left(t \pm t_{0}\right)\right}=e^{-j \omega t_{0}} \mathcal{F}{f(t)}=e^{-j \omega t_{0}} F(\omega)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Fourier. Vamos usar como ponto de partida a definição
Passo 2
Calculemos a transformada de
. Pela definição,
Fazendo a mudança de variável
, então
e
. Os limites continuam de
a
, logo
Passo 3
Para
note que
. Aplicando a mesma propriedade de deslocamento com
vem