Questâo : Verifique se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente. Em caso de convergencia determine seu valor. Justifique todas as passagens.
ponto)
.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência de
e, se ela convergir, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com limite superior infinito e uso de testes de comparação para convergência, além de integração por partes para encontrar a primitiva.
Passo 2
Para mostrar convergência, note que, para
, vale
pois
quando
. Assim
Mas
é uma integral convergente de função exponencial decrescente. Pelo teste da comparação, conclui-se que
é convergente.
Passo 3
Agora calculamos a integral propriamente dita. Escrevemos
e aplicamos integração por partes em
, escolhendo
Passo 4
Voltamdo à integral imprópria,
Para
tem-se
. Em
obtemos
. Portanto,
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.