3^{a} Questâo : Verifique se a integral imprópria abaixo é convergente ou divergente. Em caso de convergencia determine seu valor. Justifique todas as passagens.
\left(1,5\right. ponto) \int_{1}^{\infty} \frac{3 x}{e^{x}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência de
\int_{1}^{\infty}\frac{3x}{e^x}\,dx
e, se ela convergir, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com limite superior infinito e uso de testes de comparação para convergência, além de integração por partes para encontrar a primitiva.

Passo 2

Para mostrar convergência, note que, para x\ge1, vale
x < e^{x/2},
pois \ln x < x/2 quando x\ge1. Assim
\frac{3x}{e^x} = 3x\,e^{-x} < 3\,e^{-x/2}.
Mas
\int_{1}^{\infty}3\,e^{-x/2}\,dx
é uma integral convergente de função exponencial decrescente. Pelo teste da comparação, conclui-se que
\int_{1}^{\infty}\frac{3x}{e^x}\,dx
é convergente.

Passo 3

Agora calculamos a integral propriamente dita. Escrevemos
\int \frac{3x}{e^x}\,dx = 3\int x\,e^{-x}\,dx
e aplicamos integração por partes em \int x\,e^{-x}\,dx, escolhendo
u = x,\quad dv = e^{-x}\,dx \Rightarrow du = dx, \;v = -e^{-x}. Logo,
\int x\,e^{-x}\,dx = u\,v - \int v\,du = -x\,e^{-x} - \int\bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)\,e^{-x} + C.

Passo 4

Voltam­do à integral imprópria,
\int_{1}^{\infty}\frac{3x}{e^x}\,dx = 3\Bigl[ -(x+1)e^{-x}\Bigr]_{1}^{\infty}.
Para x\to\infty tem­-se (x+1)e^{-x}\to0. Em x=1 obtemos -(1+1)e^{-1}=-2e^{-1}. Portanto,
3\Bigl[0 - \bigl(-2e^{-1}\bigr)\Bigr] = 3\cdot 2e^{-1} = \frac{6}{e}.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é \displaystyle \frac{6}{e}.

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