Considere o sistema linear abaixo:
\left\{\begin{array}{ccc} 2 x_{1}-3 x_{2}+x_{3} & = & -5 \\\\ 4 x_{1}-8 x_{2}-x_{3} & = & -7 \\\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & = & 4 \end{array}\right.
a) É possível verificar a existência e unicidade da solução? Se sim, mostre. Se não, justifique.
b) Resolva-o pelo método da Eliminação de Gauss (sem pivotação).
c) A solução é exata? Mostre através do vetor de resíduos.
d) Resolva-o pelo método da Eliminação de Gauss com pivotação parcial.
e) Resolva-o pelo método da decomposição LU.
f) Se formos resolver o sistema por métodos iterativos (de Jacobi ou Gauss-Seidel), temos garantia da convergência do método? Justifique/explique.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-5,\\\\ 4x_{1}-8x_{2}-x_{3}=-7,\\\ x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4, \end{cases}
pede (a) existência e unicidade da solução, (b) resolução por Eliminação de Gauss sem pivotação, (c) verificação exata via vetor de resíduos, (d) resolução por Eliminação de Gauss com pivotação parcial, (e) decomposição LU, (f) condição de convergência de métodos iterativos. Vamos usar teoria de determinante, eliminação de Gauss, decomposição LU e critérios de convergência (dominância diagonal, SPD).

Passo 2

Para (a) verificamos se a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1\\\\ 4 & -8 & -1\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
é invertível, ou seja, \det(A)\neq0. Calculamos
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}-8 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -(-3)\det\begin{pmatrix}4 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}4 & -8\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
Computando os menores, obtemos \det(A)=2(-8\cdot1-(-1)\cdot2)+3(4\cdot1-(-1)\cdot1)+(4\cdot2-(-8)\cdot1) =-12+15+16=19\neq0. Logo existe e é única.

Passo 3

Para (b) montamos a matriz aumentada e eliminamos sem pivotação:
\bigl[\,2\;-3\;1\mid -5\bigr],\; [4\;-8\;-1\mid -7],\; [1\;2\;1\mid4].
Fazendo R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow 2R_3-R_1 obtemos
[2\;-3\;1\mid -5],\; [0\;-2\;-3\mid3],\; [0\;7\;1\mid13].
Depois R_3\leftarrow R_3+\tfrac{7}{2}R_2
[2\;-3\;1\mid -5],\; [0\;-2\;-3\mid3],\; [0\;0\;-\tfrac{19}{2}\mid\tfrac{47}{2}].
Retro-substituindo:
x_{3}=-\frac{47}{19},\quad -2x_{2}-3x_{3}=3\implies x_{2}=\frac{42}{19},\quad 2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-5\implies x_{1}=\frac{39}{19}.

Passo 4

Para (c) calculamos o vetor de resíduos r=b-Ax. Com x=(39/19,42/19,-47/19), verifica-se
Ax=(-5,-7,4)^T=b,
logo r=(0,0,0)^T. A solução é exata.

Passo 5

Para (d) com pivotação parcial trocamos a linha 1 pela linha 2 (maior pivô em módulo na coluna 1), e repetimos a eliminação. O resultado final da solução é o mesmo:
x_{1}=\frac{39}{19},\quad x_{2}=\frac{42}{19},\quad x_{3}=-\frac{47}{19}.

Passo 6

Para (e) construímos A=LU sem permutações. Usamos multiplicadores
\ell_{21}=\frac{4}{2}=2,\quad \ell_{31}=\frac{1}{2},\quad \ell_{32}=\frac{\tfrac{7}{2}}{-2}=-\frac{7}{4}.
Obtém-se
L=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 2&1&0\\\ \tfrac12&-\tfrac74&1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} 2&-3&1\\\\ 0&-2&-3\\\\ 0&0&-\tfrac{19}{4} \end{pmatrix}.
Resolvendo Ly=b e depois Ux=y dá novamente \bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=(39/19,42/19,-47/19).

Passo 7

Para (f) a condição suficiente de convergência de Jacobi ou Gauss–Seidel é dominância diagonal estrita ou SPD em A. Aqui as linhas 1 e 3 não satisfazem \lvert a_{ii}\rvert\ge\sum_{j\ne i}\lvert a_{ij}\rvert,
e A não é simétrica positiva definida. Portanto não temos garantia geral de convergência.

Resposta

a) Sim. \det(A)=19\neq0, logo existe solução única.
b) x_{1}=39/19,\;x_{2}=42/19,\;x_{3}=-47/19.
c) O vetor de resíduos é r=b-Ax=(0,0,0)^T, solução exata.
d) Com pivotação parcial chega-se ao mesmo (39/19,42/19,-47/19).
e) L=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 2&1&0\\tfrac12&-\tfrac74&1\end{pmatrix},
U=\begin{pmatrix}2&-3&1\\\ 0&-2&-3\\\ 0&0&-\tfrac{19}{4}\end{pmatrix},
solução (39/19,42/19,-47/19).
f) Não há garantia de convergência de Jacobi ou Gauss–Seidel pois A não é estritamente diagonal dominante nem SPD.

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