Dada a tabela de pontos abaixo e considerando a forma de Newton para o polinômio interpolador:
x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
a - Obtenha f(0.47) utilizando um polinômio de grau 2 e um polinômio de grau 5 .
b - Justifique os resultados obtidos na letra a desta questão.

Passo 1

O enunciado dá seis pontos
(x_i,f_i) = (0{,}2,0{,}16),\,(0{,}34,0{,}22),\,(0{,}4,0{,}27),\,(0{,}52,0{,}29),\,(0{,}6,0{,}32),\,(0{,}72,0{,}37)
e pede f(0{,}47) usando o polinômio de Newton de grau 2 e de grau 5. Vamos usar diferenças divididas para montar cada interpolador e depois avaliar em x=0{,}47.

Passo 2

Escolhemos três nós mais próximos de 0{,}47: x_0=0{,}4, x_1=0{,}52, x_2=0{,}6 com
f_0=0{,}27,\quad f_1=0{,}29,\quad f_2=0{,}32.
Calculamos as primeiras diferenças divididas:
f[x_1,x_0] =\frac{0{,}29-0{,}27}{0{,}52-0{,}4} =0{,}1666667, \qquad f[x_2,x_1] =\frac{0{,}32-0{,}29}{0{,}6-0{,}52} =0{,}375.
Em seguida a segunda diferença dividida:
f[x_2,x_1,x_0] =\frac{0{,}375-0{,}1666667}{0{,}6-0{,}4} =1{,}0416667.
O polinômio de grau 2 em forma de Newton é
P_2(x) =0{,}27 +0{,}1666667\,(x-0{,}4) +1{,}0416667\,(x-0{,}4)(x-0{,}52).

Passo 3

Avaliaremos P_2 em x=0{,}47. Chamando \Delta_1=0{,}47-0{,}4=0{,}07 e \Delta_2=(0{,}47-0{,}4)(0{,}47-0{,}52)=0{,}07\cdot(-0{,}05)=-0{,}0035,
temos
P_2(0{,}47) =0{,}27 +0{,}1666667\cdot0{,}07 +1{,}0416667\cdot(-0{,}0035) \approx0{,}2780.

Passo 4

Para o polinômio de grau 5 usamos todos os seis nós e montamos a tabela completa de diferenças divididas. Os coeficientes iniciais são \,f[x_0]=0{,}16,\\ f[x_1,x_0]=0{,}4285714,\\ f[x_2,x_1,x_0]=2{,}0238095, \,f[x_3,x_2,x_1,x_0]=-17{,}898477,\\ f[x_4,\dots,x_0]=90{,}37475,\\ f[x_5,\dots,x_0]=-279{,}35018.
O interpolador Newton de grau 5 fica
P_5(x) =0{,}16 +0{,}4285714\,(x-0{,}2) +2{,}0238095\,(x-0{,}2)(x-0{,}34) -17{,}898477\,(x-0{,}2)(x-0{,}34)(x-0{,}4)
\quad +90{,}37475\,(x-0{,}2)(x-0{,}34)(x-0{,}4)(x-0{,}52) -279{,}35018\,(x-0{,}2)(x-0{,}34)(x-0{,}4)(x-0{,}52)(x-0{,}6).

Passo 5

Avaliaremos P_5 em x=0{,}47. Definindo \,t_1=0{,}47-0{,}2=0{,}27, \,t_2=t_1(0{,}47-0{,}34)=0{,}0351, \,t_3=t_2(0{,}47-0{,}4)=0{,}002457, \,t_4=t_3(0{,}47-0{,}52)=-0{,}00012285, \,t_5=t_4(0{,}47-0{,}6)=0{,}00001507,
temos
P_5(0{,}47) \approx 0{,}16 +0{,}4285714\cdot0{,}27 +2{,}0238095\cdot0{,}0351 -17{,}898477\cdot0{,}002457 +90{,}37475\cdot(-0{,}00012285) -279{,}35018\cdot0{,}00001507 \approx0{,}2875.

Passo 6

A diferença nos valores vem do fato de que o polinômio de grau 2 usa apenas três nós próximos a 0{,}47, gerando uma aproximação local e suave, enquanto o de grau 5 passa por todos os seis pontos, podendo apresentar oscilações (fenômeno de Runge) e capturar mais curvatura dos dados. Em geral, o erro de interpolação de grau n em x é
R_{n}(x) =\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i),
então aumentar n reduz o denominador mas amplia o produto \prod(x-x_i), podendo aumentar o erro se x estiver longe de alguns nós.

Resposta

f pelo grau 2 em 0{,} 47\approx 0{,}2780
f pelo grau 5 em 0{,} 47\approx 0{,}2875
Justificativa: o grau 2 faz interpolação local suave; o grau 5 usa todos os pontos, captando mais curvatura mas sujeito a oscilações e maior produto \prod(x-x_i).

Exercícios relacionados