Dada a tabela de pontos abaixo e considerando a forma de Newton para o polinômio interpolador:
x
0.2
0.34
0.4
0.52
0.6
0.72
0.16
0.22
0.27
0.29
0.32
0.37
a - Obtenha f(0.47) utilizando um polinômio de grau 2 e um polinômio de grau 5 .
b - Justifique os resultados obtidos na letra a desta questão.
x | 0.2 | 0.34 | 0.4 | 0.52 | 0.6 | 0.72 |
|
0.16 | 0.22 | 0.27 | 0.29 | 0.32 | 0.37 |
b - Justifique os resultados obtidos na letra a desta questão.
Passo 1
O enunciado dá seis pontos
e pede
usando o polinômio de Newton de grau 2 e de grau 5. Vamos usar diferenças divididas para montar cada interpolador e depois avaliar em
.
Passo 2
Escolhemos três nós mais próximos de
:
,
,
com
Calculamos as primeiras diferenças divididas:
Em seguida a segunda diferença dividida:
O polinômio de grau 2 em forma de Newton é
Passo 3
Avaliaremos
em
. Chamando
e
,
temos
temos
Passo 4
Para o polinômio de grau 5 usamos todos os seis nós e montamos a tabela completa de diferenças divididas. Os coeficientes iniciais são
O interpolador Newton de grau 5 fica
O interpolador Newton de grau 5 fica
Passo 5
Avaliaremos
em
. Definindo
temos
temos
Passo 6
A diferença nos valores vem do fato de que o polinômio de grau 2 usa apenas três nós próximos a
, gerando uma aproximação local e suave, enquanto o de grau 5 passa por todos os seis pontos, podendo apresentar oscilações (fenômeno de Runge) e capturar mais curvatura dos dados. Em geral, o erro de interpolação de grau
em
é
então aumentar
reduz o denominador mas amplia o produto
, podendo aumentar o erro se
estiver longe de alguns nós.
Resposta
f pelo grau 2 em 0{,}
{,}2780
f pelo grau 5 em 0{,} {,}2875
Justificativa: o grau 2 faz interpolação local suave; o grau 5 usa todos os pontos, captando mais curvatura mas sujeito a oscilações e maior produto .
f pelo grau 5 em 0{,}
Justificativa: o grau 2 faz interpolação local suave; o grau 5 usa todos os pontos, captando mais curvatura mas sujeito a oscilações e maior produto